Il est connu comme un nombre rationnel chaque nombre qui peut être représenté comme une fraction irréductible. Tout au long de l'histoire de l'humanité, l'idée de nombre s'est progressivement développée en fonction des besoins humains. La représentation des nombres en fractions, par exemple, résolvait des problèmes qui n'étaient résolus qu'avec nombres entiers.
Un nombre rationnel peut être représenté à partir d'une fraction, il existe donc des méthodes pour transformer des nombres entiers, Nombres décimaux nombres décimaux exacts et périodiques en fractions.
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Que sont les nombres rationnels ?
Les nombres rationnels sont un développement de l'ensemble des nombres entiers, puis, en plus des nombres entiers, ont été ajoutés toutes les fractions. O ensemble des nombres rationnels est représenté par :
Ce que dit cette représentation, c'est qu'un nombre est rationnel s'il peut être représenté comme la fraction le à propos de B, tel que
le est un entier et B est un entier non nul. Mais si nous voulons définir les nombres rationnels de manière moins rigoureuse, nous pouvons dire ceci :Les nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent être représentés sous forme de fraction. |
Rencontrez cette définition :
toi entierss, par exemple: -10, 7, 0 ;
toi nombres décimaux exacts, par exemple: 1,25; 0,1; 3,1415;
à dîmes périodiques simples, par exemple: 1.424242… ;
à dîmes périodiques composées, par exemple: 1.0288888…
Non sont des nombres rationnels :
À dîmes non périodiques, par exemple: 4,1239489201… ;
À les racinesPas exact, par example:
;- LES la grenouillejez carré de nombres négatifs, par example:
.
Observation: L'existence de nombres non rationnels fait émerger d'autres ensembles, tels que les nombres irrationnels et nombres complexes.
Représentation des nombres rationnels
Comprendre que la fraction est un division de deux nombres entiers, pour être un nombre rationnel, vous pouvez représenter ce nombre comme une fraction. Par conséquent, chacun des cas mentionnés ci-dessus en tant que nombres rationnels (nombres entiers, nombres décimaux exacts et nombres décimaux périodiques) peut être représenté comme une fraction.
entiers
Il existe des possibilités infinies pour représenter un entier sous forme de fraction, car une fraction peut être représentée sous forme irréductible ou non.
Exemples:
décimales exactes
Pour transformer un nombre décimal exact en un fraction, on compte le nombre de nombres dans sa partie décimale, c'est-à-dire après la virgule. S'il y a un nombre après la virgule, nous écrirons la partie entière plus la partie décimale sans la virgule au-dessus de 10. S'il y a deux nombres dans la partie décimale sur 100, en pratique, le nombre de nombres dans la partie décimale sera le nombre de zéros que nous avons au dénominateur. Voir l'exemple :
dîmes périodiques
Trouver la représentation fractionnaire d'une dîme n'est pas toujours une tâche facile, ce que nous appelons fraction génératrice. Pour faciliter ce travail, il a été observé que, dans l'équation que nous avons utilisée pour trouver la fraction génératrice, il y a des régularités, ce qui a permis de développer une méthode pratique.
Premièrement, nous devons comprendre qu'il existe deux types de dîmes périodiques, simples et composées. Une la dîme est simple si, dans sa partie décimale, il n'y a que la partie qui se répète, c'est-à-dire le point. Une la dîme est composée si, dans sa partie décimale, il y a une partie non périodique.
Exemple:
9 323232… → décimal périodique simple
La partie entière est égale à 9.
La période est égale à 32.
8,7151515… → dîme périodique composée
La partie entière est égale à 8.
La partie décimale non périodique est égale à 7.
La période est égale à 15.
Voir aussi: Fractions équivalentes - fractions qui représentent le même montant
→ 1er cas: génération de fraction d'un décimal périodique simple
Dans le premier cas, pour transformer un simple décimal périodique en fraction par la méthode pratique, il suffit d'écrire la partie entière plus le point sans la virgule dans le numérateur. Au dénominateur, pour chaque élément de la partie périodique, on ajoute un 9.
Exemple:
La fraction génératrice de 9.323232…, comme nous l'avons vu, a une période égale à 32, c'est-à-dire deux nombres dans sa période, donc le dénominateur est 99. La partie entière plus la partie périodique sans la virgule est 932, qui est le numérateur. Ainsi, la fraction génératrice de cette dîme est :
→ 2ème cas: génération de fraction d'une décimale périodique composée
La dîme composite périodique est un peu plus laborieuse. Trouvons la fraction génératrice de la dîme sur laquelle nous avons travaillé dans l'exemple.
8,7151515… → décimal périodique composé.
La partie entière est égale à 8.
La partie décimale non périodique est égale à 7.
La partie décimale de la période est égale à 15.
Le numérateur sera le soustraction 8715 – 87, c'est-à-dire la différence entre le nombre qui va de la partie entière à la partie périodique avec la partie non répétitive de la dîme.
Le numérateur sera égal à 8715 – 87 = 8628.
Pour trouver le dénominateur, analysons la partie décimale. Examinons d'abord la partie décimale non périodique et périodique. Dans ce cas, la partie décimale du nombre est 715. Pour chaque nombre qui est dans la partie périodique, ajoutons un 9 au début du dénominateur. Puisque la partie périodique dans ce cas a deux nombres (15), il y aura deux 9 au dénominateur. Pour chaque nombre de la partie décimale qui n'est pas périodique, nous ajouterons un 0 à la fin du dénominateur, qui sera 990.
Bientôt, le fraction génératrice de la dîme sera :
Propriétés des nombres rationnels
Entre deux nombres rationnels, il y aura toujours un autre nombre rationnel
Il est intéressant de penser que cette propriété, très discutée par les peuples anciens, devienne un paradoxe. En choisissant deux nombres rationnels, il y aura toujours un nombre entre eux.
Exemple:
Entre 1 et 2, il y a 1,5; entre 1 et 1,5, il y a 1,25; entre le 1 et le 1,25, il y a le 1,125 et ainsi de suite. Autant je choisis deux nombres rationnels avec très peu de différence entre eux, il est toujours possible de trouver un nombre rationnel entre eux. Cette propriété fait impossible de définir successeur et prédécesseur en nombres rationnels.
Les quatre opérations sur l'ensemble des nombres rationnels sont fermées
On dit que l'ensemble est fermé pour le somme, par exemple, si la somme de deux nombres rationnels génère toujours un autre nombre rationnel comme réponse. C'est ce qui se passe avec les quatre opérations sur Q.
LES addition, soustraction, division et multiplication entre deux nombres rationnels donnera toujours un nombre rationnel. En fait, même le potentialisation d'un nombre rationnel générera toujours un nombre rationnel en réponse.
L'ensemble des nombres rationnels n'est pas fermé au radiation. Ainsi, mpuisque 2 est un nombre rationnel, la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel.
Voir aussi: Fractions équivalentes - fractions qui représentent le même montant
Sous-ensembles de nombres rationnels
Nous savons comment sous-ensembles ou relation d'inclusion les ensembles formés par des éléments qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels. Il y a plusieurs sous-ensembles possibles, comme l'ensemble des nombres entiers ou Naturel, car tout nombre entier est rationnel, tout comme tout nombre naturel est rationnel.
Exemple:
Ensemble d'entiers: Z= {…-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, …}.
Lorsque cela se produit, nous disons que Z Q (Il se lit comme suit: Z est contenu dans Q ou l'ensemble des nombres entiers est contenu dans l'ensemble des nombres rationnels.)
Certains symboles sont essentiels pour créer des sous-ensembles de Q, ce sont: +,- et *, qui signifient respectivement positif, négatif et non nul.
Exemples:
Q* → (lit: ensemble de nombres rationnels non nuls.)
Q+ → (lit: ensemble de nombres rationnels positifs.)
Q- → (lit: ensemble de nombres rationnels négatifs.)
Q*+ → (lit: ensemble de nombres rationnels positifs et non nuls.)
Q*- → (lit: ensemble de nombres rationnels négatifs et non nuls.)
Notez que tous ces ensembles sont des sous-ensembles de Q, car tous les éléments appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels. En plus des ensembles présentés, on peut travailler avec plusieurs sous-ensembles dans Q, comme l'ensemble formé par les nombres impairs, ou les cousins, ou des paires, enfin, il existe plusieurs et plusieurs possibilités de sous-ensembles.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
