Nous savons comment polynôme une expression qui indique la somme algébrique de monômes qui ne sont pas similaires, c'est-à-dire que le polynôme est une expression algébrique entre monômes. Monomium est un terme algébrique qui a un coefficient et une partie littérale.
Lorsqu'il y a des termes similaires entre les polynômes, il est possible d'effectuer le réduction de ses termes dans l'addition et/ou la soustraction de deux polynômes. Il est également possible de multiplier deux polynômes par la propriété distributive. La division est effectuée à l'aide de la méthode des clés.
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Que sont les monômes ?
Pour comprendre ce qu'est un polynôme, il est important de comprendre d'abord la signification d'un monôme. Une expression algébrique est appelée monôme lorsqu'elle a nombres et lettres et leurs exposants séparés seulement par multiplication. Le nombre est connu sous le nom de coefficient, et les lettres et leurs exposants sont connus sous le nom de partie littérale.
Exemples:
2x² → 2 est le coefficient; x² est la partie littérale.
√5ax → √5 est le coefficient; hache est la partie littérale.
b³yz² → 1 est le coefficient; b³yz² est la partie littérale.
Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Un polynôme n'est rien d'autre que le somme algébrique de monômes, c'est-à-dire qu'il s'agit plutôt de monômes séparés par addition ou soustraction les uns des autres.
Exemples:
ax² + par + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
De manière générale, un polynôme peut avoir plusieurs termes, il est représenté algébriquement par :
lenonXnon + le(n-1) X(n-1) + … + le2x² + un1x + un
Voir aussi: Quelles sont les classes de polynômes ?
degré d'un polynôme
Pour trouver le degré du polynôme, séparons-le en deux cas, quand il a une seule variable et quand il a plus de variables. Le degré du polynôme est donné par le degré du plus grand de ses monômes dans les deux cas.
Il est assez courant de travailler avec un polynôme qui n'a qu'une seule variable. Quand cela arrive, O plus grand monomium degré qui indique le degré du polynôme est égal au plus grand exposant de la variable :
Exemples:
Polynômes à variable unique
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → notez que la variable est x et que le plus grand exposant qu'elle possède est 3, il s'agit donc d'un polynôme de degré 3.
b) 2 ans5 + 4y² – 2y + 8 → la variable est y et le plus grand exposant est 5, c'est donc un polynôme de degré 5.
Lorsque le polynôme a plus d'une variable dans un monôme, pour trouver le degré de ce terme, il faut ajouter-si le degré des exposants de chacune des variables. Ainsi, le degré du polynôme, dans ce cas, est toujours égal au degré du plus grand monôme, mais il faut prendre soin d'additionner les exposants des variables de chaque monôme.
Exemples:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
En analysant la partie littérale de chaque terme, nous devons :
xy → niveau 2 (1 + 1)
x²y³ → degré 5 (2 + 3)
y³ → 3e année
Notez que le plus grand terme a le degré 5, il s'agit donc d'un polynôme de degré 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analyse de la partie littérale de chaque monôme :
a²b → niveau 3 (2 + 1)
ab² → degré 2 (1 + 1)
a²b² → niveau 4 (2 + 2)
Ainsi, le polynôme est de degré 4.
Ajout de polynômes
Au addition entre deux polynômes, effectuons le réduction des monômes similaires. Deux monômes sont similaires s'ils ont des parties littérales égales. Lorsque cela se produit, il est possible de simplifier le polynôme.
Exemple:
Soit P(x) = 2x² + 4x + 3 et Q(x) = 4x² – 2x + 4. Trouvez la valeur de P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Trouver des termes similaires (qui ont les mêmes parties littérales):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Ajoutons maintenant les monômes similaires :
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Soustraction polynomiale
La soustraction n'est pas très différente de l'addition. Le détail important est que nous devons d'abord écrire le polynôme opposé avant de procéder à la simplification de termes similaires.
Exemple:
Données: P(x) = 2x² + 4x + 3 et Q(x) = 4x² - 2x + 4. Calculez P(x) – Q(x).
Le polynôme -Q(x) est l'opposé de Q(x), pour trouver l'opposé de Q(x), il suffit d'inverser le signe de chacun de ses termes, il faut donc :
-Q(x) = -4x² +2x – 4
On calculera alors :
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
En simplifiant des termes similaires, nous avons :
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Multiplication polynomiale
Pour effectuer la multiplication de deux polynômes, nous utilisons le connu propriété distributive entre les deux polynômes, opérant la multiplication des monômes du premier polynôme par ceux du second.
Exemple:
Soit P(x) = 2a² + b et Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calculez P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
En appliquant la propriété distributive, on aura :
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2e5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Maintenant, s'ils existent, nous pouvons simplifier des termes similaires :
2e5 + 6a³b + 8a²b² + un B + 3ab² + 4b³
Notez que les seuls monômes similaires sont surlignés en orange, en simplifiant entre eux, nous aurons le polynôme suivant comme réponse :
2e5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2e5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Accédez également à: Comment faire une multiplication de fractions algébriques ?
division polynomiale
effectuer la division de polynômes peut être assez laborieux, on utilise ce qu'on appelle méthode des clés, mais il existe plusieurs méthodes pour cela. La division de deux polynômes cela n'est possible que si le degré du diviseur est plus petit. En divisant le polynôme P(x) par le polynôme D(x), on cherche un polynôme Q(x), tel que :
Ainsi, par l'algorithme de division, on a: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dividende
D(x) → diviseur
Q(x) → quotient
R(x) → reste
Lors de l'opération de division, le polynôme P(x) est divisible par le polynôme D(x) si le reste est nul.
Exemple:
Opérons en divisant le polynôme P(x) = 15x² +11x + 2 par le polynôme D(x) = 3x + 1.
Nous souhaitons partager :
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1ère étape: on sépare le premier monôme du dividende avec le premier du diviseur :
15x²: 3x = 5x
2ème étape: on multiplie 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, et on soustrait le résultat de P(x). Pour effectuer la soustraction, il est nécessaire d'inverser les signes du résultat de la multiplication, en trouvant le polynôme :
3ème étape: on effectue la division du premier terme du résultat de la soustraction par le premier terme du diviseur :
6x: 3x = 2
4ème étape: on a donc (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Par conséquent, nous devons :
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
A lire aussi: Dispositif pratique de Briot-Ruffini - division des polynômes
Exercices résolus
Question 1 - Quelle doit être la valeur de m pour que le polynôme P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m soit de degré 2 ?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Résolution
Variante A
Pour que P(x) ait le degré 2, le coefficient de x³ doit être égal à zéro et le coefficient de x² doit être différent de zéro.
Alors on va faire :
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
D'autre part, nous avons que m + 3 0.
Donc, m -3.
Ainsi, nous avons comme solution de la première équation que m = 3 ou m= -3, cependant, pour la seconde, nous avons m ≠ -3, donc la seule solution qui fait que P(x) a le degré 2 est: m = 3.
Question 2 - (IFMA 2017) Le périmètre de la figure peut s'écrire par le polynôme :
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Résolution
Variante D
À partir de l'image, lorsque nous analysons la longueur et la largeur données, nous savons que le périmètre est la somme de tous les côtés. Puisque la longueur et la hauteur sont les mêmes, nous multiplions simplement la somme des polynômes donnés par 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
