UN calotte sphérique et le solide géométrique obtenu lorsqu'une sphère est interceptée par un plan, le divisant en deux solides géométriques. La calotte sphérique est considérée comme un corps rond car, comme la sphère, elle a une forme arrondie. Pour calculer l'aire et le volume d'une calotte sphérique, nous utilisons des formules spécifiques.
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Résumé sur la calotte sphérique
- La calotte sphérique est un solide géométrique obtenu lorsque la sphère est divisée par un plan.
- Les principaux éléments de la calotte sphérique sont le rayon de la sphère, le rayon de la calotte sphérique et la hauteur de la calotte sphérique.
- La calotte sphérique n'est pas un polyèdre, mais un corps rond.
- Si le plan divise la sphère en deux, la calotte sphérique forme un hémisphère.
- Il est possible de calculer le rayon de la calotte sphérique à l'aide du théorème de Pythagore, organisé comme suit :
\(\gauche (R-h\droite)^2+r^2=R^2\)
- L'aire de la calotte sphérique peut être calculée à l'aide de la formule :
\(A=2\pi rh\ \)
- Le volume de la calotte sphérique peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
Qu'est-ce qu'une calotte sphérique ?
calotte sphérique est le solide géométrique obtenu lorsqu'une section du balle commun plat. Quand on coupe la sphère avec un plan, on divise cette sphère en deux calottes sphériques. Lorsque nous divisons la sphère en deux, la calotte sphérique est connue sous le nom d'hémisphère.
Éléments de calotte sphérique
Dans une calotte sphérique, les éléments principaux sont le rayon de la sphère, le rayon de la calotte sphérique et la hauteur de la calotte sphérique.
- R → rayon de la sphère.
- r → rayon de la calotte sphérique.
- h → hauteur de la calotte sphérique.
La calotte sphérique est-elle un polyèdre ou un corps rond ?
Nous pouvons voir que la calotte est un solide géométrique. Comme il a une base circulaire et une surface arrondie, la calotte sphérique est considérée comme un corps rond, également appelé solide de révolution. Il convient de mentionner que le polyèdre a des visages formés par polygones, ce qui n'est pas le cas de la calotte sphérique, qui a une base formée par un cercle.
Comment calculer le rayon de la calotte sphérique ?
Pour calculer la longueur du rayon de la calotte sphérique, il faut connaître la longueur de la hauteur h de la calotte sphérique et la longueur du rayon R de la sphère, car, comme on peut le voir sur l'image suivante, il existe une relation de Pythagore.
Notez que nous avons un triangle rectangle, le triangle OO'B, avec l'hypoténuse mesurant R et les jambes mesurant R - h et r. Appliquer le théorème de Pythagore, Nous devons:
\(\gauche (R-h\droite)^2+r^2=R^2\)
Exemple:
Quel est le rayon d'une calotte sphérique qui a une hauteur de 2 cm, sachant que le rayon de la sphère est de 5 cm ?
Résolution:
Application de la relation de Pythagore :
\(\gauche (R-h\droite)^2+r^2=R^2\)
\(\gauche (5-2\droite)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Comment calculer l'aire de la calotte sphérique ?
Pour calculer l'aire de la calotte sphérique, il faut connaître la mesure de la longueur du rayon R de la sphère et la hauteur h de la calotte. La formule utilisée pour calculer la surface est :
\(A=2\pi Rh\)
- R → rayon de la sphère.
- h → hauteur de la calotte sphérique.
Exemple:
Une calotte sphérique a été obtenue à partir d'une sphère ayant un rayon de 6 cm et une hauteur de 4 cm. Quelle est donc la surface de cette calotte sphérique ?
Résolution:
En calculant l'aire de la calotte sphérique, nous avons:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Comment calculer le volume de la calotte sphérique ?
Le volume de la calotte sphérique peut être calculé de deux manières. La première formule dépend du rayon R de la sphère et de la hauteur h :
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
Exemple:
Quel est le volume d'une calotte sphérique obtenue à partir d'une sphère de rayon 8 cm dont la hauteur de la calotte sphérique est de 6 cm ?
Résolution:
Puisque nous connaissons la valeur de R et h, nous utiliserons la première formule.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\gauche (18\droite)\)
\(V=216\pi\cm^3\)
L'autre formule de volume de calotte sphérique prend en compte le rayon de calotte sphérique r et la hauteur de calotte h :
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
Exemple:
Quel est le volume d'une calotte sphérique ayant un rayon de 10 cm et une hauteur de 4 cm ?
Résolution:
Dans ce cas, nous avons r = 10 cm et h = 4 cm. Connaissant la valeur du rayon de la calotte sphérique et la hauteur, nous utiliserons la seconde formule :
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\environ210,7\ \pi\ cm³\)
Voir aussi: Tronc pyramidal - le solide géométrique formé par le bas de la pyramide lorsqu'une coupe transversale est prise
Exercices résolus sur calotte sphérique
question 1
(Enem) Pour décorer une table de fête d'enfants, un chef va utiliser un melon sphérique d'un diamètre mesurant 10 cm, qui servira de support pour embrocher diverses douceurs. Il retirera une calotte sphérique du melon, comme indiqué sur la figure, et, pour garantir la stabilité de ce support, rendant difficile pour le melon de rouler sur la table, le chef coupera de sorte que le rayon r de la section de coupe circulaire soit au moins moins 3 centimètres. D'autre part, le patron voudra avoir le plus d'espace possible dans la région où seront postés les bonbons.
Pour atteindre tous ses objectifs, le chef doit couper le haut du melon à une hauteur h, en centimètres, égale à
UN) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Résolution:
Variante C
On sait que le diamètre de la sphère est de 10 cm, donc son rayon est de 5 cm, donc OB = 5 cm.
Si le rayon de la section est exactement de 3 cm, on a :
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Donc:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
question 2
Une calotte sphérique a une aire de 144π cm². Sachant qu'elle a un rayon de 9 cm, la hauteur de cette calotte sphérique est de :
A) 8cm
B) 10cm
C) 14cm
D) 16cm
E) 22cm
Résolution:
Variante A
Nous savons que:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
La hauteur est de 8 cm.
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
