Les systèmes linéaires sont constitués d'un ensemble d'équations linéaires qui ont une relation entre elles. Cette relation, à son tour, se produit à travers l'ensemble de solutions de ces équations. Lorsque nous écrivons deux ou plusieurs équations dans un système linéaire, nous disons que les solutions de ces équations doivent être égales. Les valeurs que les inconnues prendront pour valider l'une des équations doivent être les mêmes pour les autres, c'est-à-dire que toutes les équations de ce système linéaire doivent avoir le même ensemble de solutions.
On dit donc que l'ensemble (un1, une2, une3, …, Lenon) est l'ensemble solution d'un système linéaire, s'il s'agit de la solution de chacune des équations du système linéaire. Regardons un exemple pour mieux comprendre toute cette théorie :
Nous avons un système à deux équations: dans la première équation, nous pouvons énumérer plusieurs ensembles de solutions qui satisfaire cette équation, cependant il faut trouver, parmi ces ensembles, un qui satisfait aussi la seconde équation. Analysons l'ensemble de solutions (6.4) :
• Dans l'équation x + y = 10. S = {(6,4)}, c'est-à-dire x = 6 et y = 4.
6 + 4 = 10 (Vraie égalité, cet ensemble de solutions satisfait la première équation)
• Dans l'équation 2x – y = 5 (x = 6 et y = 4)
On aura: 2.6 - 4 = 5 -> 8 = 5 (Faux)
Cet ensemble de solutions ne satisfait pas la deuxième équation, nous ne pouvons donc pas dire que cet ensemble de solutions est la solution du système linéaire.
Regardons l'ensemble de solutions (5.5). Dans ce cas, les deux équations seront satisfaites avec cet ensemble, c'est donc l'ensemble solution du système linéaire (1).
Cependant, notez que, selon le système linéaire, obtenir l'ensemble de solutions devient compliqué, juste en calculant mentalement les solutions possibles de chaque équation. Cependant, il existe des méthodes arithmétiques pour résoudre un système linéaire, et beaucoup ont déjà été étudiées à l'école primaire. (Ajout, Remplacement, Comparaison)
Il ne sera pas toujours possible de trouver un ensemble de solutions qui satisfasse réellement toutes les équations d'un système donné. Face à cette impasse, le besoin s'est fait sentir d'analyser les possibilités d'obtention de l'ensemble de solutions et avec cela a permis de lister 3 possibilités pour classer un système linéaire selon son ensemble de solutions. Ce sujet est traité dans l'article. Classification d'un système linéaire.
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil.
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-lineares.htm
