Dans l'étude des cercles, un concept important à étudier est celui des lignes tangentes à un cercle. Pour réaliser cette étude, il est nécessaire de comprendre les positions relatives d'un point par rapport à un cercle. Si vous n'avez pas étudié quelque chose en rapport avec ce sujet, consultez l'article Positions relatives entre un point et un cercle.
En observant la position d'un point par rapport à un cercle, nous pouvons conclure quelques faits liés aux lignes tangentes. On sait qu'il existe trois positions relatives d'un point à un cercle. Pour chaque position de celui-ci, nous pouvons conclure quelque chose sur la ligne tangente qui passe par ce point.
• Point à l'intérieur du cercle: Vous ne pouvez pas tracer une ligne tangente passant par ce point.
• Point appartenant au cercle: par ce point on ne peut avoir qu'une ligne tangente, car c'est le point de tangence.
• Point en dehors du cercle: à partir de ce point on peut tracer deux droites tangentes au cercle.
Par conséquent, pour déterminer l'équation de la droite tangente à un cercle passant par un point donné, il faut nécessairement déterminer la position relative de ce point. Cette position dépend de la distance du point au centre du cercle.
Nous devons nous rappeler quelques faits importants sur la géométrie analytique :
• La distance la plus courte d'un point à une ligne est un segment perpendiculaire à cette ligne ;
• La ligne tangente sera toujours perpendiculaire au rayon à son point de tangente.
En rapportant les deux faits précédents, on peut affirmer que la distance de la ligne tangente au centre doit être égale au rayon.
Par conséquent, pour déterminer l'équation de la ligne tangente, nous devons analyser la position du point que nous allons dessiner à la ligne et calculer ainsi la distance de la ligne qui contient ce point par rapport au centre de la circonférence.
Pour une meilleure compréhension de tous ces concepts, nous travaillerons avec des exemples qui nécessitent ces réflexions.
1) Déterminer l'(les) équation(s) de la (des) droite(s) tangente(s) au cercle donné, tracée par le point P.
a) éq. circonférence: x2+ oui2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Avec cela, nous pouvons extraire les informations nécessaires à notre problème :
C(3,4), r=5.
Il faut maintenant trouver la position relative du point P(0,0) :
Le point P est donc le point de tangence.
Déterminons l'équation de la droite passant par le point P.
Afin de déterminer réellement l'équation de la ligne, nous devons encore découvrir quelle est la pente de cette ligne. L'un des faits que nous avons vu au début de cet article était la perpendicularité de la ligne tangente au rayon du cercle. Le point P est un point de tangence, donc la pente de la ligne qui passe par le point P et le centre doivent être perpendiculaires à la ligne tangente. Pour cela, nous avons une relation entre les pentes perpendiculaires.
Autrement dit, le produit des pentes des droites perpendiculaires est égal à -1.
Pour déterminer la pente du segment PC, nous devons utiliser l'expression suivante :
Avec cela, on obtient l'équation de la tangente :
Une autre façon de déterminer la valeur de m serait de calculer la distance entre le centre et la ligne. Cette distance est égale au rayon. Voyons voir:
Lorsque le point est à l'extérieur du cercle, nous devrions trouver le point de tangence en utilisant la distance entre le centre du cercle et le ligne tangente, nous déterminerons donc la valeur du coefficient angulaire de la ligne tangente, qui, à son tour, déterminera l'équation de la ligne tangente.
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
