En résolvant l'équation du 2e degré x2 – 6x + 9 = 0, on trouve deux racines égales à 3. En utilisant le théorème de décomposition, on factorise le polynôme et on obtient :
X2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
Dans ce cas, on dit que 3 est la racine de la multiplicité 2 ou racine double de l'équation.
Ainsi, si un polynôme factorisé donne l'expression suivante :
On peut dire ça:
x = -5 est la racine de multiplicité 3 ou la racine triple de l'équation p (x) = 0
x = -4 est la racine de multiplicité 2 ou la racine double de l'équation p (x) = 0
x = 2 est racine de multiplicité 1 ou racine simple de l'équation p (x) = 0
En général, on dit que r est une racine de multiplicité n, avec n 1, de l'équation p (x) = 0, si :
Notez que p(x) est divisible par (x – r)m et que la condition q(r) ≠ 0 signifie que r n'est pas une racine de q(x) et garantit que la multiplicité de la racine r n'est pas supérieure à m.
Exemple 1. Résoudre l'équation x4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, étant donné que 3 est une racine double.
Solution: Considérons p(x) comme le polynôme donné. Ainsi:
Notez que q(x) est obtenu en divisant p(x) par (x – 3)2.
En divisant par le dispositif pratique de Briot-Ruffini, on obtient :
Après avoir effectué la division, nous voyons que les coefficients du polynôme q(x) sont 1, -3 et -4. Ainsi, q (x) = 0 sera: x2 – 3x – 4 = 0
Résolvons l'équation ci-dessus pour déterminer les autres racines.
X2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ou x = 4
Par conséquent, S = {-1, 3, 4}
Exemple 2. Écrivez une équation algébrique de degré minimum telle que 2 est une racine double et – 1 est une racine simple.
Solution: Nous devons :
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Ou alors
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Polynômes - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm