Progressions: ce qu'elles sont, types, formules, exemples

Nous savons comment progressions cas particuliers de séquences de nombres. Il existe deux cas de progressions :

• progression arithmétique

• progression géométrique

Pour être une progression, nous devons analyser les caractéristiques de la séquence pour savoir s'il y a ce que nous appelons une raison. quand la progression est arithmétique, la raison n'est rien de plus qu'une constante que l'on ajoute à un terme pour trouver son successeur dans la suite; maintenant, lorsque l'on travaille avec une progression géométrique, la raison a une fonction similaire, seulement dans ce cas, la raison est le terme constant par lequel nous multiplions un terme dans la séquence pour trouver son successeur.

À cause de comportement prévisible d'une progression, il existe des formules spécifiques pour trouver n'importe quel terme dans ces séquences, et il est également possible de développer une formule pour chacun d'eux (c'est-à-dire une pour la progression arithmétique et une pour la progression géométrique) afin de calculer la somme Denon premiers termes de cette progression.

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La quantité de fèves par récolte se comporte comme une progression géométrique

séquence de nombres

Pour comprendre ce que sont les progressions, nous devons d'abord comprendre ce qu'elles sont séquences de nombres. Comme son nom l'indique, nous connaissons la séquence de nombres a ensemble de nombres respectant un ordre, bien définis ou non. Contrairement au ensembles numériques où l'ordre n'a pas d'importance, dans une séquence numérique, l'ordre est essentiel, par exemple :

La séquence (1, 2, 3, 4, 5) est différente de (5, 4, 3, 2, 1), qui est différente de la séquence (1, 5, 4, 3, 2). Même si les éléments sont les mêmes, comme l'ordre est différent, nous avons donc des séquences différentes.

Exemples:

On peut écrire des séquences dont les formations sont faciles à voir :

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → suite de nombres pairs inférieur ou égal à 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → séquence régressive de nombres impairs de 17 à 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → dit séquence de Fibonacci.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → bien qu'il ne soit pas possible de décrire cette séquence comme les autres, il est facile de prédire quels seront ses prochains termes.

Dans d'autres cas, les séquences peuvent avoir un caractère aléatoire total dans leurs valeurs, de toute façon, pour être une séquence, ce qui compte c'est d'avoir un ensemble de valeurs ordonnées.

à 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Autant il n'est pas possible de prédire qui sont les prochains termes de la lettre b, nous travaillons toujours avec une suite.

En général, les chaînes sont toujours représentées entre parenthèses ( ), de la manière suivante :

(Le₁, une₂,Le₃, une₄,Le₅, une₆, une₇, une₈ …) → séquence infinie

(Le₁, une₂,Le₃, une₄,Le₅, une₆, une₇, une₈ … une_non) → suite finie

Dans les deux, on a la représentation suivante :

le₁ → premier terme

le₂ → deuxième terme

le₃ → troisième terme

.

.

.

le_non → nième terme

Observation: Il est très important que, lors de la représentation d'une séquence, les données soient mises entre parenthèses. La notation de séquence est souvent confondue avec la notation d'ensemble. Un ensemble est représenté entre accolades, et dans l'ensemble l'ordre n'a pas d'importance, ce qui fait toute la différence dans ce cas.

(1, 2, 3, 4, 5) → séquence

{1, 2, 3, 4, 5} → régler

Il existe des cas particuliers de séquence que l'on appelle des progressions.

Voir aussi: Quel est le principe fondamental du comptage ?

Qu'est-ce qu'une progression ?

Une séquence est définie comme une progression lorsqu'elle a un régularité d'un trimestre à l'autre, connu sous le nom de raison. Il existe deux cas de progression, la progression arithmétique et la progression géométrique. Pour savoir différencier chacun d'eux, il faut comprendre quelle est la raison d'une progression et comment cette raison interagit avec les termes de la séquence.

Quand, d'un terme à l'autre de la séquence, j'ai un somme constante, cette séquence est définie comme une progression, et dans ce cas c'est une progression arithmétique. Cette valeur que nous additionnons constamment est connue sous le nom de ratio. L'autre cas, c'est-à-dire lorsque la séquence est une progression géométrique, d'un terme à l'autre il y a un multiplication par une valeur constante. De manière analogue, cette valeur est le rapport de la progression géométrique.

Exemples:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → remarquez qu'on ajoute toujours 3 d'un terme à l'autre, on a donc une progression arithmétique de rapport égale à 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → dans ce cas on multiplie toujours par 10 d'un terme à l'autre, en traitant une progression géométrique de rapport 10.

c) (0, 2, 8, 26 …) → dans ce dernier cas, il n'y a qu'une seule séquence. Pour trouver le terme suivant, on multiplie le terme par 3 et on ajoute 2. Ce cas, même s'il existe une régularité pour trouver les termes suivants, ce n'est qu'une séquence, pas une progression arithmétique ou géométrique.

progression arithmétique

Lorsque nous travaillons avec des suites de nombres, les suites dans lesquelles nous pouvons prédire leurs prochains termes sont assez récurrentes. Pour que cette séquence soit classée comme progression arithmétique, il doit y avoir un raison une. A partir du premier terme, le terme suivant est construit par la somme du terme précédent avec la raison r.

Exemples:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Il s'agit d'une séquence qui peut être classée comme une progression arithmétique, car la raison r = 3 et le premier terme est 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Cette séquence est une progression arithmétique avec raison. r = -5, et son premier terme est 7.

• Conditions d'une AP

Dans de nombreux cas, notre intérêt est de trouver un terme précis dans la progression, sans avoir à écrire toute la séquence. Connaissant la valeur du premier terme et le rapport, il est possible de trouver la valeur de n'importe quel terme dans une progression arithmétique. Pour trouver les termes d'une progression arimétique, on utilise la formule :

le_non = le₁+ (n - 1)r

Exemple:

Trouvez le 25e terme d'un P.A dont le rapport est de 3 et le premier terme est de 12.

Données r = 3, le₁ = 12. On veut trouver le 25e terme, c'est-à-dire n = 25.

le_non = le₁+ (n - 1)r

le₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

le₂₅ = 12 + 24 · 3

le₂₅ = 12 + 72

le₂₅ = 84

• Terme général d'un P.A.

Le terme général formule est un façon de simplifier la formule d'un terme AP pour trouver plus rapidement n'importe quel terme de progression. Une fois le premier terme et la raison connus, il suffit de substituer dans la formule un terme d'un P.A., pour trouver le terme général de la progression arithmétique, qui ne dépend que de la valeur de non.

Exemple:

Trouvez le terme général d'un P.A. qui a r = 3 et le₁ = 2.

le_non = 2 + (n -1) r

le_non = 2 + (n -1) 3

le_non = 2 + 3n – 3

le_non = 2n - 1

C'est le terme général d'un P.A., qui sert à trouver n'importe quel terme dans cette progression.

• Somme des termes d'une AP

LES somme des termes d'un PA il serait assez laborieux s'il fallait retrouver chacun de ses termes et les additionner. Il existe une formule pour calculer la somme de tous non premiers termes d'une progression arithmétique :

Exemple:

Trouvez la somme de tous les nombres impairs de 1 à 100.

Nous savons que les nombres impairs sont une progression arithmétique de rapport 2: (1, 3, 5, 7…99). Dans cette progression il y a 50 termes, puisque, de 1 à 100, la moitié des nombres sont pairs et l'autre moitié est impaire.

Par conséquent, nous devons :

n = 50

le₁ = 1

le_non = 99

Accédez également à: Fonction 1er degré - utilisation pratique de la progression arithmétique

Progression géométrique

Une chaîne peut également être classée comme pragression géométrique (PG). Pour qu'une suite soit une progression géométrique, elle doit avoir une raison, mais dans ce cas, pour trouver le terme suivant à partir du premier terme, nous effectuons le multiplication du rapport par le terme précédent.

Exemples:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Progression géométrique du rapport 2, et son premier terme est 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Progression géométrique du rapport 10, et son premier terme est 20.

• Durée d'un PG

Dans une progression géométrique, nous représentons la raison de la lettre quelle. Le terme d'une progression géométrique peut être trouvé par la formule :

le_non = le₁ · quelle^{n - 1}

Exemple:

Trouver le 10ème terme d'un PG, sachant que quelle = 2 et le₁ = 5.

le_non = le₁ · quelle^{n - 1}

le₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

le₁₀ = 5 · 2⁹

le₁₀ = 5 · 512

le₁₀ = 2560

• Terme général d'un PG

Quand on connaît le premier terme et la raison, il est possible de générer la formule du terme général à partir d'une progression géométrique qui dépend exclusivement de la valeur de non. Pour ce faire, il suffit de remplacer le premier terme et le rapport, et nous allons trouver une équation qui ne dépend que de la valeur de non.

En utilisant l'exemple précédent, où le rapport est 2 et le premier terme est 5, le terme général pour ce GP est :

le_non = le₁ · quelle^{n - 1}

le_non = 5 · 2^{n - 1}

• Somme des termes d'un PG

Ajouter tous les termes d'une progression serait beaucoup de travail. Dans de nombreux cas, l'écriture de la séquence entière pour accomplir cette somme prend du temps. Pour faciliter ce calcul, la progression géométrique a une formule qui sert à calculer la somme de non premiers éléments d'un PG fini:

Exemple:

Trouvez la somme des 10 premiers termes du GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 …).

A noter que le ratio de ce PG est égal à 2.

le₁ = 1

quelle = 2

non = 10

A lire aussi: Fonction exponentielle - utilisation pratique de la progression géométrique

exercices résolus

Question 1 - Une culture particulière de bactéries est observée depuis quelques jours par les scientifiques. L'un d'eux analyse la croissance de cette population, et il a remarqué que, le premier jour, il y avait 100 bactéries; dans le second, 300 bactéries; dans le troisième, 900 bactéries, et ainsi de suite. En analysant cette séquence, on peut dire que c'est :

A) une progression arithmétique de rapport 200.

B) une progression géométrique de rapport 200.

C) une progression arimétique de la raison 3.

D) une progression géométrique de rapport 3.

E) une séquence, mais pas une progression.

Résolution

Alternative D.

En analysant la suite, on a les termes :

Notez que 900/300 = 3, ainsi que 300/100 = 3. Par conséquent, nous travaillons avec un PG de rapport 3, car nous multiplions par trois à partir du premier terme.

Question 2 - (Enem – PPL) Pour un débutant en course à pied, le plan d'entraînement quotidien suivant était stipulé: courir 300 mètres le premier jour et augmenter 200 mètres par jour à partir du deuxième. Pour compter ses performances, il utilisera une puce, fixée à sa basket, pour mesurer la distance parcourue à l'entraînement. Considérez que cette puce stocke, dans sa mémoire, un maximum de 9,5 km de course/marche, et doit être placée au début de l'entraînement et jetée après avoir épuisé l'espace réservé aux données. Si cet athlète utilise la puce dès le premier jour d'entraînement, pendant combien de jours consécutifs cette puce pourra-t-elle mémoriser le kilométrage de ce plan d'entraînement quotidien ?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Résolution

Variante B.

En analysant la situation, nous savons que nous avons un PA avec un motif de 200 et une résiliation initiale égale à 300.

De plus, on sait que la somme S_non = 9,5 km = 9 500 mètres.

Avec ces données, trouvons le terme a_non, qui est le nombre de kilomètres enregistrés le dernier jour de stockage.

Il convient également de se rappeler que tout terme a_non peut s'écrire comme :

le_non = le₁ + (n - 1)r

Étant donné l'équation 200n² + 400n – 19000 = 0, nous pouvons diviser tous les termes par 200, en simplifiant l'équation et en trouvant: n² + 2n – 95 = 0.

Pour delta et Bhaskara, il faut :

a = 1

b = 2

c = -95

= b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

On sait que 8,75 correspond à 8 jours et quelques heures. Dans ce cas, le nombre de jours pendant lesquels la mesure peut être effectuée est de 8.

Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm