Les opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique facilitent le calcul impliquant les éléments de cet ensemble. La multiplication et la division des complexes qui sont sous forme trigonométrique se font presque instantanément, tandis que sous forme algébrique, le processus nécessite plus de calculs. La potentialisation et la radiation des complexes sous forme trigonométrique sont également facilitées avec l'utilisation des formules de Moivre. Voyons comment s'effectue l'enracinement de ces nombres :
Considérons tout nombre complexe z = a + bi. La forme trigonométrique de z est :
Les racines n-index de z sont données par la deuxième formule de Moivre :
Exemple 1. Trouvez les racines carrées de 2i.
Solution: Tout d'abord, nous devons écrire le nombre complexe sous forme trigonométrique.
Tout le nombre complexe est de la forme z = a + bi. Donc, nous devons :
On sait aussi que :
Avec les valeurs sinus et cosinus on peut conclure que :
Ainsi, la forme trigonométrique de z = 2i est :
Calculons maintenant les racines carrées de z en utilisant la formule de Moivre.
Puisque nous voulons les racines carrées de z, nous obtiendrons deux racines distinctes z0 et z1.
Pour k = 0, on aura
Pour k = 1, on aura :
Ou alors
Exemple 2. Obtenez les racines cubiques de z = 1∙(cosπ + i∙senπ)
Solution: Comme le nombre complexe est déjà sous forme trigonométrique, il suffit d'utiliser la formule de Moivre. De l'énoncé, nous avons que ø = π et |z| = 1. Ainsi,
Nous aurons trois racines distinctes, z0, z1 et z2.
Pour k = 0
Pour k = 1
Ou z1 = – 1, puisque cos π = – 1 et sin π = 0.
Pour k = 2
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Nombres complexes - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm