Certaines situations impliquant des progressions géométriques reçoivent une attention particulière en ce qui concerne le développement et la solution. Certaines séquences géométriques, lorsqu'elles sont ajoutées, tendent vers une valeur numérique fixe, c'est-à-dire que l'introduction de nouveaux termes dans la somme rend comme la série géométrique se rapproche de plus en plus d'une valeur, ce type de comportement est appelé une série géométrique Convergent. Analysons la progression géométrique suivante (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) de raison q = 1/3, en déterminant les situations suivantes: O5 et S10.
Somme des termes d'une progression géométrique
Au fur et à mesure que le nombre de termes augmente, la valeur de la somme des termes dans la progression se rapproche de 6. On en déduit que la somme de la suite (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) converge vers 6 chaque fois que de nouveaux éléments sont introduits. On peut démontrer la situation générale de la manière suivante: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 +... = 6.
Une autre situation impliquant des progressions géométriques est la série divergente, qui ne tend pas vers un nombre fixe comme les convergents, car ils augmentent de plus en plus à mesure que de nouveaux termes sont introduits dans le progression. Regardez le PG
(3, 6, 12, 24, 48, ...) de rapport q = 2, déterminons les sommes quand: n = 10 et n = 15.
Notez que la somme augmente avec le nombre de termes, S10 = 3069 et S15 = 98301, donc on dit que la série diverge, ça grossit comme on veut.
En revenant à l'étude des séries convergentes, nous pouvons déterminer une seule expression qui exprime la valeur à laquelle se rapproche la série géométrique, pour cela nous considérerons quelques points. Supposons que le rapport q suppose des valeurs comprises dans la plage ] – 1 et 1[, C'est – 1 < q < 1, ainsi, nous pouvons conclure que l'élément qn de l'expression qui détermine la somme des termes d'un PG tend vers zéro lorsque le nombre de termes n augmente. De cette façon, nous pouvons considérer qn = 0. Suivez la démo :
snon = le1(qn – 1) = le1(0 – 1) = – le1 = le1
quelle – 1 q – 1 q – 1 1 – quelle
Ainsi, l'expression suivante suit:
snon = le1, –1 < q < 1
1 – quelle
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
Progression - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm