L'équation algébrique de type polynomial s'exprime comme suit :
P(x) = lenonXnon +... + le2X2 + le1X1 + le0
c'est à dire
P(x) = 2x5 + 4x4 + 6x3 + 7x2 + 2x + 9
Chaque polynôme a un coefficient et une partie littérale, le coefficient étant le nombre et la partie littérale la variable.
Le polynôme est composé de monômes et chaque monôme est formé par le produit d'un nombre par une variable. Voir ci-dessous la structure d'un monomium :
Monôme
le1. X1 → le1 = coefficient
→X1 = partie littérale
Chaque polynôme a un degré, le degré d'un polynôme par rapport à la variable sera la plus grande valeur de l'exposant se référant à la partie littérale. Le coefficient dominant est la valeur numérique qui accompagne la partie littérale de degré supérieur.
Pour identifier le degré d'une variable, on peut utiliser deux méthodes :
La première considère le degré général du polynôme et la seconde considère le degré par rapport à une variable.
Pour obtenir le degré général du polynôme, il faut considérer que chaque monôme du polynôme a son degré, qui est donné par la somme des exposants des termes qui composent la partie littérale. Voir l'exemple :
2xy + 1x3 + 1xy4 → Polynôme
2xy → Monomium de degré 2, puisque la variable x a un exposant de 1 et la variable y a un exposant de 1, en additionnant les exposants se référant aux variables, on a le le degré de ce monomium est 2.
1 fois3→ Monôme de la 3e année, car la variable x a pour exposant 3.
1xy4 → Monomium de degré 5, puisque la variable x a le degré 1 et la variable y a le degré 4, en additionnant les exposants se référant aux variables nous devons le degré de ce monomium est 5.
O degré général du polynôme sera donné par le monôme de degré le plus élevé, d'où le degré du polynôme 2xy + 1x3 + 1xy4 é 5.
Pour obtenir le degré d'un polynôme par rapport à une variable, il faut considérer que le degré sera obtenu par le plus grand exposant de la variable qui sera fixée. Supposons que cette variable soit le terme x du polynôme 2xy + 1x3 + 1xy4, Nous devons:
2xy → monomium de degré 1, puisque le degré de ce terme algébrique est déterminé par l'exposant de la variable x.
1 fois3→ Monomium de degré 3, puisque le degré de ce terme algébrique est déterminé par l'exposant de la variable x.
xy4→ Monomium de degré 1, puisque le degré de ce terme algébrique est déterminé par l'exposant de la variable x.
le degré du polynôme 2xy + 1x3 + 1xy4é 3, car c'est le plus grand degré du polynôme par rapport à la variable x.
Jetez un œil à l'exemple ci-dessous pour comprendre comment nous obtenons le degré d'un polynôme grâce à ces deux procédures :
Exemple 1
Étant donné le polynôme 5x8 + 10 ans3X6 + 2xy. Quel est le degré du polynôme lié à la variable x et quel est son coefficient dominant? Quel est le degré du polynôme par rapport à la variable y et quel est son coefficient dominant? Quel est le degré général du polynôme ?
Réponse
Premier pas:Vous devriez trouver le degré du polynôme lié à la variable X. Il faut alors appliquer le deuxième cas pour trouver le degré du polynôme 5X8+ 10oui3X6+ 2Xy.
Nous devons d'abord considérer chaque monôme séparément et évaluer le degré à travers la variable X.
5X8→ Par rapport à la variable x, le degré de ce monôme est 8.
10 ans3X6 → Par rapport à la variable x, le degré de ce monôme est de 6
2Xoui → Par rapport à la variable x, le degré de ce monôme est 1.
Nous avons donc que le plus haut degré du polynôme 5x8 + 10 ans3X6 + 2xy, lié à la variable x, vaut 8 et son coefficient dominant est 5.
Deuxième étape: Trouvons maintenant le degré du polynôme 5X8 + 10oui3X6 + 2Xoui, par rapport à la variable oui. Il suit la même structure que l'étape précédente pour l'identification, seulement maintenant nous devons le considérer par rapport à la variable y.
5x8 = 5x8oui0→ Par rapport à la variable y, le degré de ce monôme est 0.
10oui3X6→ Par rapport à la variable y, le degré est 3.
2Xoui → Par rapport à la variable y, le degré est 1.
On a donc que le degré du polynôme lié à la variable y est 3 et son coefficient dominant est 10.
Troisième étape: Il faut maintenant identifier le degré général du polynôme 5X8 + 10oui3X6+ 2X, pour cela nous considérons chaque monôme séparément et ajoutons les exposants se référant à la partie littérale. Le degré du polynôme sera le degré du plus grand monôme.
5X8 = 5X8oui0→ 8 + 0 = 8. Le degré de ce monomium est de 8.
10oui3X6 → 3 + 6 = 9.Le degré de ce monomium est de 9.
2xy → 1 + 1 = 2. Le degré de ce monomium est de 2.
On a donc que le degré de ce polynôme est 8.
Le concept se référant au degré d'un polynôme est fondamental pour comprendre ce qu'est un polynôme unitaire.
Par définition, il faut : O polynôme unitaire se produit lorsque le coefficient qui accompagne la partie littérale de degré le plus élevé par rapport à une variable est 1. Ce degré est donné par le monomium lenonXnon, Où lenon est le coefficient dominant qui sera toujours égal à 1 et le degré du polynômeIl est donné par Xnon,qui sera toujours le plus grand exposant du polynôme par rapport à une variable.
Polynôme unitaire
P(x) = 1xnon +... + le2X2 + le1X1 + le0
Être lenon =1 et xnon c'est la partie littérale qui a le plus haut degré du polynôme.
Noter tout au long de polynôme unitaire on évalue toujours le degré par rapport à une variable.
Exemple 2
Identifiez le degré des polynômes unitaires ci-dessous :
Le) P(x) = x3 + 2x2 + 1 B) P(y) = 2y6 + oui5 – 16 ç) P(z) = z9
Réponse
Le) P(x) = 1 fois3+ 2x2 + 1. Le degré de ce polynôme doit être obtenu par rapport à la variable x. Le degré le plus élevé par rapport à cette variable est 3 et son coefficient est 1, considéré comme le coefficient dominant. Le polynôme P(x) est donc unitaire.
B) P(y) = 2y6 + oui5 – 16. Le degré de ce polynôme par rapport à la variable y est 6. Le coefficient qui accompagne la partie littérale se référant à ce degré est 2, ce coefficient étant différent de 1, le polynôme n'est donc pas considéré comme unitaire.
ç) P(z) = z9. Le degré est 9 et le coefficient par rapport au plus haut degré de la variable z est 1. Ce polynôme est donc unitaire.
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio-unitario.htm