Pour le calcul des déterminants des matrices carrées d'ordre inférieur ou égal à 3 (n≤3), nous avons quelques règles pratiques pour effectuer ces calculs. Cependant, lorsque l'ordre est supérieur à 3 (n>3), bon nombre de ces règles ne sont pas applicables.
On verra donc le théorème de Laplace, qui, utilisant le concept de cofacteur, conduit le calcul des déterminants à des règles qui s'appliquent à n'importe quelle matrice carrée.
Le théorème de Laplace consiste à choisir l'une des lignes (ligne ou colonne) de la matrice et à additionner les produits des éléments de cette ligne par leurs cofacteurs respectifs.
Illustration algébrique :
Regardons un exemple :
Calculer le déterminant de la matrice C en utilisant le théorème de Laplace :
D'après le théorème de Laplace, il faut choisir une ligne (ligne ou colonne) pour calculer le déterminant. Utilisons la première colonne :
Nous devons trouver les valeurs de cofacteur :
Ainsi, par le théorème de Laplace, le déterminant de la matrice C est donné par l'expression suivante :
Notez qu'il n'était pas nécessaire de calculer le cofacteur de l'élément de matrice qui était égal à zéro, après tout, lorsque nous multiplions le cofacteur, le résultat serait de toute façon zéro. Par conséquent, lorsque nous rencontrons des matrices qui ont plusieurs zéros dans l'une de leurs lignes, le l'utilisation du théorème de Laplace devient intéressante, car il ne sera pas nécessaire de calculer plusieurs cofacteurs.
Regardons un exemple de ce fait :
Calculer le déterminant de la matrice B en utilisant le théorème de Laplace :
Notez que la deuxième colonne est la ligne qui a le plus grand nombre de zéros, nous utiliserons donc cette ligne pour calculer le déterminant de la matrice via le théorème de Laplace.
Par conséquent, pour déterminer le déterminant de la matrice B, il suffit de trouver le cofacteur A22.
On peut donc compléter les calculs du déterminant :
dét B = (- 1). (- 65) = 65
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm
