O déterminant d'un quartier général a plusieurs applications actuellement. On utilise le déterminant pour vérifier si trois points sont alignés dans le plan cartésien, pour calculer des aires de triangles, pour résoudre des systèmes linéaires, entre autres applications dans math. L'étude des déterminants pas limité aux maths, il y a quelques applications en physique, comme l'étude des champs électriques.
Nous calculons uniquement les déterminants des matrices carrées., c'est-à-dire des matrices dans lesquelles le nombre de colonnes et le nombre de lignes sont égaux. Pour calculer le déterminant d'une matrice, nous devons analyser son ordre, c'est-à-dire s'il est 1x1, 2x2, 3x3 et ainsi de suite, plus votre commande est élevée, plus il sera difficile de trouver le déterminant. Cependant, il existe des méthodes importantes pour effectuer l'exercice, telles que La règle de Sarrus, utilisé pour calculer les déterminants des matrices 3x3.
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Déterminant matriciel d'ordre 1
Un tableau est appelé ordre 1 lorsqu'il a exactement une ligne et une colonne. Lorsque cela se produit, la matrice a un seul élément, le A11. Dans ce cas, le déterminant matriciel coïncide avec son seul terme.
A = (un11)
det(A) = | le11 | = le11
Exemple:
A = [2]
det(A) = |2| = 2
Pour calculer les déterminants des matrices d'ordre 1, il suffit de connaître leur seul élément.
Déterminants des matrices d'ordre 2
La matrice carrée 2x2, également connue sous le nom de matrice d'ordre 2, a Quatre éléments, dans ce cas, pour calculer le déterminant, il faut savoir quel est le diagonale principale et le diagonale secondaire.
Pour calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 2, on calcule ledifférence saisir le produit des termes de la diagonale principale et les conditions de diagonale secondaire. En utilisant l'exemple algébrique que nous avons construit, det (A) sera :
Exemple:
Déterminant matriciel d'ordre 3
La matrice d'ordre trois est plus laborieux pour obtenir le déterminant que les précédents, en effet, plus l'ordre d'une matrice est élevé, plus ce travail sera difficile. En il faut utiliser ce que nous connaissons comme La règle de Sarrus.
La règle de Sarrus
La règle de Sarrus est une méthode de calcul des déterminants des matrices d'ordre 3. Il est nécessaire de suivre quelques étapes, étant le premier dupliquer les deux premières colonnes à la fin de la matrice, comme illustré dans l'exemple suivant.
Allons-y maintenant multiplier les termes de chacune des trois diagonales qui sont dans la même direction que la diagonale principale.
Nous allons effectuer un processus similaire avec la diagonale secondaire et les deux autres diagonales qui sont dans le même sens qu'elle.
noter que les termes de la diagonale secondaire sont toujours accompagnés du signe moins., c'est-à-dire que nous changerons toujours le signe du résultat de la multiplication des termes diagonaux secondaires.
Exemple:
Voir aussi: Théorème de Binet - processus pratique pour la multiplication matricielle
Propriétés déterminantes
1ère propriété
Si l'une des lignes de la matrice est égale à 0, alors son déterminant sera égal à 0.
Exemple:
2ème propriété
Soient A et B deux matrices, det (A·B) = det (A) · det (B).
Exemple:
En calculant les déterminants séparés, nous devons :
dét (A) = 2 · (-6) – 5 · 3
dét (A) = -12 – 15 = -27
det (B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
dét (B) = 4 + 4 = +8
Donc det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216
Calculons maintenant det (A·B)
3ème propriété
Soit A une matrice et A' une nouvelle matrice construite en intervertissant les lignes de la matrice A, alors det (A') = -det (A), ou c'est-à-dire qu'en inversant la position des lignes d'une matrice, son déterminant aura la même valeur, mais avec un signe échangé.
Exemple:
4ème propriété
lignes égales ou proportionnel rendre le déterminant matriciel égal à 0.
Exemple:
Notez que dans la matrice A, les termes de la ligne deux sont le double des termes de la ligne un.
Accédez également à :Application de matrices aux examens d'entrée
Exercices résolus
Question 1 - (Vunesp) En considérant les matrices A et B, déterminez la valeur de det (A·B) :
à 1
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
Résolution
Variante E
Nous savons que det (A·B) = det (A) · det (B) :
det (A) = 1· 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2
det (B) = -1 · 1 – 3 · 2 = -1 – 6 = -7
Nous devons donc :
det (A·B) = det (A) · det (B)
det (A·B) = -2 (-7) = 14
Question 2 - Étant donné la matrice A, quelle doit être la valeur de x pour que det(A) soit égal à 0 ?
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/9
d) 3
e) 9
Résolution
Variante B
En calculant le déterminant de A, il faut :
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm