Travailler avec fonctions composites il n'a pas de grands secrets, mais il demande beaucoup d'attention et de soins. Lorsqu'il s'agit d'une composition de trois fonctions ou plus, qu'elles soient issues de la 1er degré ou de 2ème degré, plus grande devrait être la préoccupation. Avant de regarder quelques exemples, comprenons l'idée centrale de la composition des rôles.
Imaginez que vous ayez l'intention de faire un voyage en avion de Rio Grande do Sul à Amazonas. Une compagnie aérienne propose un billet d'avion direct et une autre option moins chère, avec trois escales aériennes, comme le montre le schéma suivant :
Rio Grande do Sul → São Paulo → Goiás → Amazonas
N'importe laquelle des options de voyage mènera à la destination prévue, de même que la fonction composite. Voir l'image ci-dessous :
Exemple de fonctionnement d'une composition de trois fonctions
Et si nous utilisions ce schéma pour appliquer un exemple? Considérons alors les fonctions suivantes: f(x) = x + 1, g (x) = 2x – 3 et h(x) = x²
. la composition f o go o h (lit: f composé avec g composé avec h) peut être plus facilement interprété lorsqu'il est exprimé comme f(g(h(x))). Pour résoudre cette composition de fonctions, nous devons commencer par la fonction composite la plus interne ou la dernière composition, donc, g(h(x)). En fonction g (x) = 2x – 3, partout où il y a X, nous remplacerons par h(x):g (x) = 2x – 3
g(h(x)) = 2.h(x) – 3
g(h(x)) = 2.(x²) – 3
g (h(x)) = 2.x² - 3
Maintenant, nous allons faire la dernière composition f(g(h(x))). En fonction f(x) = x + 1, partout où il y a X, nous remplacerons par g (h(x)) = 2.x² - 3:
f(x) = x + 1
F(g(h(x))) = (2.x² - 3) + 1
F(g(h(x))) = 2.x² - 3 + 1
f (g(h (x))) = 2.x² - 2
Regardons un exemple pour prouver que, comme cela s'est produit dans le cas du vol mentionné au début de cet article, si nous choisissons une valeur à appliquer dans f(g(h(x))), nous obtiendrons le même résultat qu'en appliquant séparément dans les compositions. si x = 1, Nous devons h (1) c'est la même chose que :
h(x) = x²
h (1) = 1²
h (1) = 1
Sachant que h (1) = 1, trouvons maintenant la valeur de g(h(1)):
g (x) = 2x – 3
g (h(1)) = 2.h (1) - 3
g(h(1)) = 2,1 - 3
g (h(1)) = – 1
Enfin, calculons la valeur de f(g(h(1))), sachant que g (h(1)) = – 1:
f(x) = x + 1
f(g(h(1))) = g(h(1)) + 1
f (g(h (1))) = – 1 + 1
f (g(h (1))) = 0
Nous avons trouvé que f (g(h (1))) = 0. Voyons donc si nous obtenons le même résultat lors du remplacement x = 1 dans la formule de composition des fonctions que nous avons trouvée plus haut: f (g(h (x))) = 2.x² - 2:
f (g(h (x))) = 2.x² - 2
f (g(h (1))) = 2.(1)² – 2
f (g(h (1))) = 2 - 2
f (g(h (1))) = 0
Nous avons donc en fait obtenu le même résultat que nous voulions démontrer. Regardons encore un autre exemple de composition de trois fonctions ou plus :
Soit les fonctions: f(x) = x² - 2x, g (x) = – 2 + 3x, h (x) = 5x³ et je (x) = - x, déterminer la loi de la fonction composée f(g(h(i(x)))).
Nous allons commencer à résoudre cette composition par la fonction composite la plus interne, h(x)):
i (x) = – x et h (x) = 5x³
h (x) = 5x³
H(je(x)) = 5.[je(x)]³
H(je(x)) = 5.[- X]³
h (i(x)) = – 5x³
Résolvons maintenant la composition g(h(i(x))):
h (i(x)) = – 5x³ et g (x) = – 2 + 3x
g (x) = – 2 + 3x
g(h(x))) = – 2 + 3.[h(x))]
g(h(x))) = – 2 + 3.[– 5x³]
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³
On peut maintenant déterminer la loi de la fonction composée f(g(h(i(x))))):
g (h(i (x))) = – 2 – 15x³ et f(x) = x² - 2x
f(x) = x² - 2x
F(g(h(i(x)))) = [g (h(i (x)))]² - 2[g(h(i(x)))]
F(g(h(i(x)))) = [– 2 – 15x³]² – 2[– 2 – 15x³]
F(g (h(i (x)))) = 4 - 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Par conséquent, la loi de la fonction composée f(g(h(i(x))))) é f (g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-ou-mais-funcoes.htm
