Pour comprendre le somme de deux cubes, Il est important de comprendre que nous utilisons le produit de deux polynômes pour faciliter les opérations et les simplifications. au travail avec polynômes, il devient nécessaire de savoir les factoriser, et trouver la factorisation consiste à chercher un moyen de représenter le polynôme comme le produit de deux ou plusieurs polynômes. Savoir appliquer la factorisation de ce polynôme est essentiel pour simplifier les situations-problèmes faisant intervenir la somme de deux cubes. Il existe une formule pour effectuer cette factorisation.
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Comment la somme de deux cubes est-elle factorisée ?
LES factoriser un polynôme est assez courant en mathématiques et son but est d'exprimer ce polynôme comme le produit de deux ou plusieurs polynômes. A partir de cette représentation, il est possible d'effectuer des simplifications et de résoudre des situations faisant intervenir, dans ce cas, la somme de deux cubes. Pour effectuer la factorisation, il faut connaître la formule de la somme de deux cubes.
Formule de la somme de deux cubes
Considérer le comme premier terme et B comme deuxième terme et ils peuvent être n'importe nombre réel, il faut donc :
a³ + b³ = (a+b)(a² - ab +b²)
En analysant le deuxième membre de l'équation, nous montrerons qu'en appliquant la propriété distributive, nous pouvons trouver le premier membre.
(a+b)(a² - ab +b²) = a³ – a²b+ab²+a²b–ab² +b³
Notez que les termes en rouge et les termes en bleu sont respectivement opposés, donc leur somme est égale à zéro, laissant :
(a+b)(a² - ab +b²) = a³ + b³
Pour effectuer la factorisation du cube de différence, appliquons la formule et trouvons les termes a et b, comme indiqué dans l'exemple suivant.
Exemple 1:
Résoudre x³ + 27.
En réécrivant l'équation, on sait que 27=3³, représentons-la donc par: x³ + 3³ → somme de deux cubes, où x est le premier terme et 3 est le deuxième terme.
En effectuant la factorisation à l'aide de la formule, nous devons :
x³ + 3³ = (x+3)(x² - x·3 +3²)
x³ + 3³ = (x+3)(x² - 3x +9)
Par conséquent, la factorisation de x³ + 27 est égale à (x+3)(x² – 3x +9).
Exemple 2:
Résoudre 8x³ + 125.
En réécrivant l'équation, on sait que 8x³ = (2x) ³ et 125=5³, représentons donc par: (2x) ³ + 5³ → somme de deux cubes, où 2x est le premier terme et 5 est le deuxième terme.
En effectuant la factorisation à l'aide de la formule, nous devons :
(2x) + 5³ = (2x +5) ((2x)² – 2x·5+5²)
(2x) + 5³ = (2x+5) (4x² – 10x +25)
Par conséquent, la factorisation de 8x³ + 125 est égale à (2x+5)(4x² – 10x +25).
Voir aussi: Comment additionner et soustraire des fractions algébriques ?
Exercices résolus
Question 1 - Sachant que a³ + b³ = 1944 et que a+b = 1 et ab = 72, la valeur de a²+b² est ?
A) 160
B) 180
C) 200
D) 240
E) 250
Résolution
Variante B.
Supposons a³ + b³.
a³ +b³ = (a+b) (a² - ab + b²)
Nous allons maintenant utiliser la question data remplaçant a+b, ab et a³ + b³ :
Question 2 - La simplification de l'expression est :
À 1
B) x+1
C) -3xy
D) x² + y²
E) 5
Résolution
Alternative A.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dois-cubos.htm