O multiple commun minimum (MMC) entre deux entiers x et y est le plus petit entier multiple de x et y simultanément. De cette façon, il existe au moins une façon de trouver le MMC entre deux nombres x et y: recherche dans les ensembles des multiples de x et y le plus petit élément commun. Bien sûr, il existe une méthode pratique pour trouver ce nombre, qui sera discutée ci-dessous. Cependant, il est nécessaire de bien comprendre la notion de multiples d'un entier.
Que sont les multiples ?
Un entier k est appelé un plusieurs de x s'il existe un nombre naturel n tel que n·x = k. Prenons l'exemple du nombre 110. Il est plusieurs de 10, puisque 110 est le résultat de la multiplication de 10 par le nombre naturel 11.
De cette façon, il est possible d'identifier si l'entier k est plusieurs de x par essais et erreurs ou en effectuant l'opération inverse de multiplication (division). Le nombre k est un multiple de x s'il existe un entier naturel n tel que :
n = k
X
Autrement dit, pour savoir si 110 est un multiple de 10, divisez 110 par 10. Si le résultat trouvé est un nombre naturel, 110 est un multiple de 10; sinon non.
Comme l'ensemble des nombres naturels est infini, l'ensemble des multiples de tout entier est également infini. Cependant, pour résoudre des exercices impliquant plusieurs et MMC, il est bon d'écrire une liste des premiers multiples d'un nombre pour mieux analyser le comportement de ses multiples.
Vous trouverez ci-dessous une liste des 10 premiers multiples de 8, 10, 12, 20 et 40. Ce sont les 10 premiers car ils sont le résultat de la multiplication de ces nombres par les 10 premiers nombres naturels.
10 premiers naturels: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Multiples de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Multiples de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multiples de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Multiples de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Multiples de 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Multiple moins commun
Pour trouver le multiple moins commun entre deux nombres, trouvez le multiple mineur qu'ils ont en commun. La première technique utilisée pour trouver le mmc est de le chercher entre des multiples des deux nombres. Regardez l'exemple:
Le plus petit commun multiple entre 10 et 12 est 60, car entre les multiples de 10 et 12, 60 est le plus petit nombre qui est un multiple des deux. Regarder:
Multiples de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Multiples de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Pour ces deux numéros, qui sont petits, il est facile de trouver la MMC. Mais qu'en est-il lorsque le calcul de MMC entre 256 et 384 est requis? De nombreuses multiplications fatigantes seront nécessaires si vous voulez procéder par cette méthode. Pour cela, il existe un méthode pratique qui sera discuté ci-dessous.
Méthode de décomposition pour le calcul du MMC
Pour calculer le multiple moins commun entre deux nombres, vous pouvez faire le décomposition en facteurs premiers leur. Par exemple, les décompositions en facteurs premiers de 10 et 12 sont :
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Remarque: chaque fois que des facteurs répétés apparaissent, écrivez-les sous forme de puissance, comme cela a été fait dans la décomposition du nombre 12.
Le MMC entre 10 et 12 sera le produit des facteurs premiers, à l'exception des facteurs répétitifs qui ont le plus petit exposant. Ainsi, le minimum sera :
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Notez que le facteur 2, issu de la décomposition du nombre 10, a été ignoré, car le même facteur, issu de la décomposition du nombre 12, a été mis au carré.
Cela facilite le calcul de la MMC entre 256 et 384. Voir:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC sera le produit 28·3 = 256·3 = 768.
Exemple 2: MMC entre 768 et 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
Le MMC sera le produit: 29·32.
Exemple 3: Calculer le MMC entre 2700 et 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Notez que les facteurs sont 2, 3 et 5. Ceux qui ont les exposants les plus élevés sont 29, 33 et 52. Le MMC sera donc :
29·33·52 = 345600
Méthode pratique pour calculer la MMC
Il est possible de noter que pour décomposer les nombres en facteurs premiers, il est nécessaire de les diviser par le plus petit diviseur premier possible et d'ignorer encore les facteurs qui se répètent dans la même division. Il existe une méthode capable de faire cette tâche. Pour vous enseigner, nous utiliserons l'exemple de MMC entre 1000 et 1024.
Écrivez ces deux nombres côte à côte, séparés par une virgule, et passez un trait vertical à droite d'eux :
1000, 1024 |
|
|
À droite de cette trace, écrivez le plus petit nombre premier qui divise au moins un entre 1000 et 1024. Dans ce cas, le nombre est 2 et il divise les deux.
1000, 1024 | 2
|
|
Juste en dessous de chacun d'eux, écrivez le résultat de votre division par 2 et, pour ces résultats, répétez la procédure ci-dessus jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de diviser l'un ou l'autre nombre par 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Notez qu'à un moment donné, nous trouvons le résultat 125 dans la colonne 1000, mais 125 n'est pas divisible par 2. Dans la colonne numéro 1024, nous n'obtenons que des résultats divisibles par 2. Dans ce cas, nous continuons à diviser les nombres de la colonne 1024 par 2 et répétons le nombre 125.
Lorsque les nombres des colonnes 1000 et 1024 ne sont plus divisibles par 2, essayez le nombre premier suivant: le nombre 3. Lorsqu'il n'y a plus de diviseurs de 3, essayez le suivant et ainsi de suite jusqu'à obtenir le résultat « 1,1 ». Dans le cas de l'exemple, 125 n'est pas divisible par 3, mais par 5, nous allons donc répéter le processus en mettant 5 à droite du tiret. Regarder:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Une fois cela fait, multipliez les facteurs trouvés à droite de la ligne verticale :
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Exemple 2: Calculez la MMC entre 432 et 384 :
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
Le MMC sera: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Pour calculer le MMC de trois nombres ou plus, utilisez simplement la méthode pratique décrite ici, en mettant tous ces nombres côte à côte.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm
