Simplification des fractions algébriques

Chaque fois que le mot « algébrique » est utilisé pour une expression numérique, cela signifie que cette expression a au moins une inconnue, c'est-à-dire une lettre ou un symbole utilisé pour représenter un nombre inconnu. Ainsi, un fraction algébrique, à son tour, n'est rien de plus qu'une fraction qui a au moins une inconnue dans le dénominateur (en bas de la fraction). Par conséquent, la simplification des fractions algébriques suit le même fondement que la simplification des fractions numériques.

Des exemples de fractions algébriques sont :

1)

2x
4 ans

2)

4 ans² – 9x²
2 ans + 3x

Simplifier les fractions algébriques

Simplifier une fraction algébrique suit le même fondement que simplifier une fraction numérique. Il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Notez un exemple de simplification de fraction :

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

La fraction ci-dessus a été simplifiée par 2, puis par 3 et enfin par 5. Pour soutenir la procédure de simplification des fractions algébriques, nous allons réécrire la première fraction ci-dessus sous sa forme factorisée :

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Notez que les nombres 2, 3 et 5 sont répétés dans le numérateur et le dénominateur et qu'ils étaient exactement les mêmes nombres par lesquels la fraction a été simplifiée. Dans le contexte de fractions algébriques, la procédure est similaire, car nécessaire de factoriser les polynômes présents au numérateur et au dénominateur. Après cela, nous devons évaluer s'il est possible de simplifier certains d'entre eux.

Exemples

1) Simplifier la fraction algébrique suivante :

4x²oui³
16xy⁶

Factorisez chacune des inconnues et des nombres présents dans la fraction :

4x²oui³
16xy⁶

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

Effectuez maintenant autant de divisions que possible, comme vous l'avez fait précédemment pour la fraction numérique: Les nombres qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur disparaissent, c'est-à-dire qu'ils sont "Couper". Il est également possible d'écrire que le résultat de chacune de ces simplifications est 1. Regarder:

2·2·x·x·y·y·y
2·2·2·2·x·y·y·y·y·y·y

X
2·2·y·y·y

X
4 ans³

2) Simplifier la fraction algébrique suivante :

4 ans² – 9x²
2 ans + 3x

Notez que le numérateur de cette fraction algébrique tombe dans l'un des cas des produits notables, c'est-à-dire les différence de deux carrés. Pour le factoriser, il suffit de le réécrire sous sa forme factorisée. Après cela, il est possible de « couper » les termes qui apparaissent à la fois au dénominateur et au numérateur comme dans l'exemple précédent. Regarder:

4 ans² – 9x²
2 ans + 3x

= (2 ans + 3x) (2 ans - 3x)
2 ans + 3x

= 1·(2y – 3x)

= 2 ans + 3x

3) Simplifier la fraction algébrique suivante :

le²(oui² – 16x²)
ay + 4ax

Comme précédemment, factorisez les polynômes présents au numérateur et au dénominateur. Après cela, effectuez les divisions qui sont possibles.

le²(oui² – 16x²)
ay + 4ax

= le·le·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

Notez que le numérateur a été factorisé en utilisant le différence de deux carrés et le dénominateur a été factorisé par le facteur commun. De plus, le terme a² peut être écrit comme le produit a·a. Enfin, effectuez autant de divisions que possible. A savoir, a par a et (y + 4x) par (y + 4x) :

le·le·(y + 4x)(y - 4x)
a·(y + 4x)

= 1·1·(y – 4x)

= y - 4x

Les cas de factorisation sont d'une importance capitale pour simplifier les fractions algébriques. Ci-dessous sont répertoriés les cas les plus importants et quelques pages où ils peuvent être trouvés plus en détail.

Factorisation d'expressions algébriques

Un polynôme peut être écrit sous sa forme factorisée s'il peut être exprimé sous l'une des quatre formes ci-dessous. Les résultats présentés sont leur forme factorisée ou des exemples de comment les factoriser :

1 – Facteur commun

Si tous les termes du polynôme ont un nombre inconnu ou un nombre commun, il est possible de les mettre en évidence. Par exemple, dans le polynôme 4x² + 2x on peut mettre 2x en évidence. Le résultat sera :

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Notez que lors de l'exécution de la multiplication indiquée sur le deuxième membre (côté droit de l'égalité), le résultat sera précisément le premier membre (côté gauche de l'égalité), en raison de la propriété distributive du multiplication.

2 – Regroupement

Au vu du cas précédent, un polynôme qui a quatre termes peut être factorisé en groupant, en joignant les termes communs deux par deux, et plus tard être à nouveau factorisé si les résultats quittent ce possibilité. Le 2x + bx + 2y + par polynôme, par exemple, peut être factorisé comme suit :

2x + bx + 2y + par

x (2 + b) + y (2 + b)

Notez que (2 + b) se répète dans les deux nouveaux termes. Ainsi, nous pouvons le mettre en évidence :

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b)(x + y)

3 – Trinôme carré parfait

Chaque fois qu'un polynôme est un trinôme carré parfait, il s'écrit équivalent à l'une des trois expressions suivantes disposées à gauche et en rouge.

X² + 2x + un² = (x + a)(x + a)

X² – 2x + un² = (x - a)(x - a)

X² - une² = (x + a)(x - a)

Le côté droit est la forme factorisée du polynôme, qui peut être utilisé pour le simplification des fractions algébriques.

4 – Somme ou différence de deux cubes

Chaque fois que le polynôme est dans la forme suivante ou peut y être écrit, ce sera une somme de deux cubes.

X³ + 3x²à + 3x² + le³ = (x + a)³

X³ – 3x²à + 3x² - une³ = (x - a)³

Encore une fois, le côté gauche, en rouge, est le polynôme qui peut être factorisé et réécrit comme les expressions du côté droit.

Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm