Une progression géométrique est une suite numérique qui respecte une loi de formation. Dans un PG, chaque terme, à partir du second, est obtenu en faisant le produit entre le terme précédent et une constante q. Cette constante q est appelée le rapport de progression géométrique. Interpoler des moyennes géométriques entre deux nombres a1 et lenon signifie déterminer les nombres réels existant entre les1 et lenon de sorte que la séquence de nombres est un PG.
Pour effectuer l'interpolation des moyennes géométriques, nous devons utiliser la formule du terme général de PG :
Pour interpoler des moyennes géométriques, il est également nécessaire de connaître la valeur du rapport PG.
Exemple 1. Un PG est formé de 6 termes, où le1 = 4 et le6 = 972. Déterminer les moyennes géométriques existant entre les1 et le6.
Solution: Pour interpoler les moyennes géométriques entre 4 et 972, nous devons déterminer la valeur du rapport PG. Pour cela, nous utiliserons le terme général de formule.
On sait que le rapport de PG est de 3 et que chaque terme, à partir du second, est obtenu en faisant le produit entre le terme précédent et le rapport. Ainsi, nous aurons :
Exemple 2. Déterminez les termes manquants dans la séquence de nombres (3, _, _, _, _, _, _, _, _, 1536) de façon à avoir une progression géométrique.
Solution: Notez que trouver les termes manquants dans la séquence avec les extrémités 3 et 1536 signifie interpoler des moyennes géométriques. Ainsi, nous devons déterminer la valeur du rapport de ce PG.
D'après la séquence numérique donnée, nous savons que le1 = 3 et le10 = 1536 (puisque 1536 occupe la dixième position dans la séquence). En utilisant la formule du terme général, nous aurons :
Une fois la valeur du rapport connue, on peut déterminer les termes qui manquent dans la séquence :
Exemple 3. Une industrie a produit 100 unités d'un produit en janvier. En juillet de la même année, elle a produit 6400 unités de ce produit. Déterminez combien d'unités ont été produites au cours des mois de février à juin, sachant que les quantités produites de janvier à juillet déterminent un PG.
Solution: Selon l'énoncé du problème, la séquence (100, _, _, _, _, _, 6400) est un PG. Pour résoudre le problème, nous devons déterminer les termes manquants dans ce PG ou interpoler des moyennes géométriques entre 100 et 6400. Nous devons donc déterminer la raison de ce PG, où le1 = 100 et le7 = 6400.
Connaissant la valeur de la raison, nous devons :
Par conséquent, la production au mois de février était de 200 unités; Mars était de 400 unités; avril était de 800 unités; Mai était de 1600 unités; et juin était de 3200 unités.
Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil
Progression - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/interpolacao-meios-geometricos.htm
