O ledisposition simple est un type de groupement étudié en analyse combinatoire. Nous savons arranger tous les groupements formés avec non éléments tirés de k dans k, sachant que la valeur de non > k.
Pour différencier l'arrangement des autres regroupements (la combinaison et le permutation), il est important de comprendre que, dans la combinaison, l'ordre des éléments de l'ensemble n'est pas important et que, dans l'agencement, il l'est. De plus, dans la permutation, tous les éléments de l'ensemble sont impliqués, puisque dans l'arrangement, nous avons choisi une partie de l'ensemble, dans ce cas, exprimé par k éléments de l'ensemble.
Pour calculer l'un de ces groupes et, en particulier, l'arrangement, il est nécessaire d'utiliser des formules spécifiques pour chacun d'eux. Il existe plusieurs applications d'arrangement, dont l'élaboration de mots de passe bancaires. Vous êtes-vous déjà demandé combien de mots de passe il est possible de créer avec certains chiffres et lettres? C'est par l'arrangement que nous pouvons répondre à cette question.
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Quelle est la formule de l'arrangement simple ?
Il y a des problèmes d'arrangement où il n'est pas nécessaire d'utiliser la formule, car ce sont des problèmes simples. Par exemple, étant donné l'ensemble {a, b, c}, de combien de manières différentes pouvons-nous choisir 2 éléments de ce ensemble donc cet ordre est important?
Pour résoudre ce problème, il suffit de réécriremois les regroupements possibles. Il s'agit d'un arrangement car nous prenons des séquences de 2 éléments à partir d'un ensemble qui a 3 éléments. Les dispositions possibles sont :
A{(a, b); (b, a); (a, c); (Californie); (un d); (donne); (avant JC); (c, b); (b, d); (d, b); (CD); (d, c)}
Dans ce cas on peut dire qu'il y a 12 aménagements possibles, avec 3 éléments pris sur 2 en 2. Souvent l'intérêt réside dans le nombre d'arrangements possibles et non sur la liste, comme nous l'avons fait plus tôt.
Pour résoudre les problèmes d'arrangement, c'est-à-dire trouver combien d'arrangements il y a de non éléments tirés de k dans k, on utilise la formule suivante :
Comment calculer l'arrangement simple?
Pour compter le nombre d'arrangements dans une situation donnée, il suffit de identifier combien d'éléments ont dans l'ensemble et combien d'éléments seront choisis de cet ensemble, c'est-à-dire quelle est la valeur de non et quelle est la valeur de k dans cette situation, plus tard, remplacez simplement les valeurs trouvées dans la formule et calculez le factorielles.
Exemple 1:
Combien y a-t-il d'arrangements de 9 éléments pris de 3 à 3 ?
non = 9 et k = 3
Exemple 2:
Les mots de passe d'une banque donnée se composent de quatre chiffres, et les chiffres utilisés ne pouvaient pas apparaître deux fois dans le même mot de passe. Alors, quel est le nombre de mots de passe possibles pour ce système ?
Nous avons affaire à un problème d'arrangement car, dans un mot de passe, l'ordre est important, et il y a 10 choix de chiffres (tous les nombres 0 à 9), parmi lesquels nous choisirons 4.
non = 10
k = 4
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Disposition simple et combinaison simple
pour ceux qui étudient analyse combinatoire, l'un des points les plus importants est la différenciation entre les problèmes qui peuvent être résolus avec un arrangement simple et les problèmes qui peuvent être résolus avec une combinaison simple. Bien qu'il s'agisse de concepts proches et utilisés pour calculer le nombre total de regroupements possibles dans une partie des éléments de l'ensemble, pour différencier les problèmes les impliquant, il suffit d'analyser si, dans le problème proposé, l'ordre est important ou non.
Lorsque l'ordre est important, le problème est résolu par un arrangement. L'arrangement (A, B) est un groupement différent de (B, A). Ainsi, les problèmes impliquant des files d'attente, des podiums, des mots de passe ou toute autre situation dans laquelle, lors d'un déplacement l'ordre des éléments, différents groupements sont formés, ils sont résolus en utilisant la formule de arrangement.
Lorsque l'ordre n'est pas important, le problème est résolu par une combinaison. La combinaison {A, B} est le même regroupement que {B, A}, c'est-à-dire que l'ordre des éléments n'a pas d'importance. Les problèmes de dessin, d'échantillons d'un ensemble, entre autres, dans lesquels l'ordre n'est pas pertinent, sont résolus à l'aide de la formule de combinaison. Pour en savoir plus sur cette autre forme de regroupement, lisez: combinaison simple.
Exercices résolus
Question 1 - Les échecs sont apparus au VIe siècle, en Inde, atteignant d'autres pays, tels que la Chine et la Perse, et devenant l'un des jeux de le conseil le plus populaire d'aujourd'hui, pratiqué par des millions de personnes et des tournois et compétitions existants international. Le jeu se joue sur un plateau carré et divisé en 64 cases, alternativement blanches et noires. D'un côté se trouvent les 16 pièces blanches et de l'autre le même nombre de pièces noires. Chaque joueur a droit à un coup à la fois. L'objectif du jeu est de mater l'adversaire. Dans une compétition internationale, les 15 meilleurs joueurs d'échecs sont également capables d'atteindre la finale et d'être le vainqueur. Sachant cela, de combien de manières différentes le podium dans cette compétition peut-il se produire ?
A) 32 760
B) 455
C) 3510
D) 2730
E) 210
Résolution
Variante D
Nous devons non = 15 et k = 3.
Question 2 - (Enem) Douze équipes se sont inscrites pour un tournoi de football amateur. Le match d'ouverture du tournoi a été choisi comme suit: dans un premier temps, 4 équipes ont été tirées au sort pour former le groupe A. Ensuite, parmi les équipes du groupe A, 2 équipes ont été tirées au sort pour jouer le match d'ouverture du tournoi, dont la première jouerait dans leur propre terrain, et la seconde serait l'équipe visiteuse. Le nombre total de choix possibles pour le groupe A et le nombre total de choix pour les équipes dans le match d'ouverture peuvent être calculés par :
A) une combinaison et un arrangement, respectivement.
B) un arrangement et une combinaison, respectivement.
C) un arrangement et une permutation, respectivement.
D) deux combinaisons.
E) deux dispositions.
Résolution
Alternative A. Pour savoir à quel type de regroupement se réfère le problème, il suffit d'analyser si l'ordre est important ou non.
Dans le premier groupe, 4 équipes seront tirées au sort parmi les 12. Notez que, dans ce tirage, l'ordre n'a pas d'importance. Quel que soit l'ordre, les 4 équipes tirées au sort formeront le groupe A, le premier groupe est donc une combinaison.
Dans le deuxième choix, sur les 4 équipes, 2 seront tirées au sort, mais la première jouera à domicile, donc, dans ce cas, l'ordre génère des résultats différents, donc, c'est un arrangement.
Par Raul Rodrigues Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-simples.htm
