LES séquence numérique, comme son nom l'indique, est une séquence de nombres et généralement a une loi de récurrence, qui permet de prédire quels seront les prochains termes faire connaissance avec vos prédécesseurs. Nous pouvons assembler des séquences de nombres avec différents critères, comme une séquence de nombres pairs, ou une séquence de nombres divisible par 4, suite de nombres premiers, suite de carrés parfaits, enfin, il y a plusieurs possibilités de suites numérique.
Lorsque nous classons la séquence par le nombre de termes, la suite peut être finie ou infinie. Lorsque nous classons la séquence en fonction du comportement des termes, cette séquence peut être ascendant, descendant, oscillant ou constant. Il existe des cas particuliers de séquences appelées progressions arithmétiques et progressions géométriques.
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Résumé de la séquence de numéros
La suite numérique n'est rien de plus qu'une suite de nombres.
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Quelques exemples de séquences numériques :
suite de nombres pairs (0,2,4,6,8…) ;
séquence de naturels inférieure à 6 (1, 2, 3, 4, 5);
suite de nombres premiers (2,3,5,7,11,…).
La loi de formation d'une progression est la règle qui régit cette séquence.
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Une suite peut être finie ou infinie.
Finie: lorsque vous avez un nombre limité de termes.
Infini: lorsque vous avez un nombre illimité de termes.
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Une séquence peut être croissante, incrédule, constante ou fluctuante.
Croissant: lorsque le terme est toujours plus petit que son successeur.
Décroissant: lorsque le terme est toujours supérieur à son successeur.
Constante: lorsque le terme est toujours égal à son successeur.
Oscillant: quand il y a des termes plus grands et plus petits que son successeur.
Il existe des cas particuliers de séquence appelés progression arithmétique ou progression géométrique.
Loi d'occurrence d'une séquence de nombres
Nous savons que la séquence numérique toute suite formée de nombres. Nous démontrons généralement les séquences en énumérant leurs termes, entre parenthèses et séparés par une virgule. Cette liste est connue sous le nom de loi d'occurrence d'une suite de nombres.
(Le1, une2, une3, …, unenon)
le1 → 1er terme de la suite
le2 → 2ème terme de la suite
le3 → 3ème terme de la suite
lenon → nième terme de la suite
Regardons quelques exemples ci-dessous.
Exemple 1:
Loi d'occurrence d'une suite de nombres multiples de 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Exemple 2 :
Loi d'occurrence de la séquence de nombres premiers:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Exemple 3:
Loi d'occurrence de ensemble négatif:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Exemple 4:
Séquence de nombres impairs inférieur à 10 :
(1, 3, 5, 7, 9)
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Classification de séquence numérique
Il existe deux manières distinctes de classer une chaîne. Le premier est quant au montant des mandats, la manière dont une séquence peut être finie ou infinie. L'autre façon de classer les séquences est quant à leur comportement. Dans ce cas, ils sont classés comme croissants, décroissants, constants ou fluctuants.
Classement par le nombre de termes
→ suite de nombres finis
La suite est finie lorsqu'elle a un nombre limité de termes.
Exemples:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ suite de nombres infinie
La suite est infinie lorsqu'elle a un nombre illimité de termes.
Exemples:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Évaluation du comportement
→ Séquence de nombres croissants
Une séquence est ascendante quand un terme est toujours plus petit que son successeur en séquence.
Exemples:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Séquence de nombres décroissant
Une séquence descend lorsqu'un terme est toujours supérieur à son successeur en séquence.
Exemples:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ séquence de nombres constants
Une suite est constante lorsque tous les termes de la séquence sont les mêmes:
Exemples:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Séquence de nombres oscillants
Une séquence oscille quand il y a des termes plus gros et des termes plus petits que leurs successeurs respectifs dans la séquence :
Exemples:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Loi de formation des séquences de nombres
Certaines séquences peuvent être décrites par un formule qui génère vos termes. Cette formule est connue sous le nom de loi de formation. Nous utilisons la loi de formation pour trouver n'importe quel terme dans la séquence lorsque nous connaissons son comportement.
Exemple 1:
La séquence suivante est formée par carrés parfaits:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
On peut décrire cette séquence par la loi de formation :
lenon = (n – 1)²
n → nombre de termes
lenon → le terme de poste non
Avec cette formule, il est possible de connaître, par exemple, le terme qui occupe la position numéro 10 dans la séquence :
le10 = ( 10 – 1) ²
le10 = 9²
le10 = 81
Exemple 2 :
Lister les termes de la suite dont la loi de formation est lanon = 2n – 5.
Pour lister, nous allons trouver les premiers termes de la séquence :
1er mandat :
lenon = 2n - 5
le1 = 2·1 – 5
le1 = 2 – 5
le1 = – 3
2ème mandat :
lenon = 2n - 5
le2 = 2·2 – 5
le2 = 4 – 5
le2 = – 1
3ème mandat :
lenon = 2n - 5
le3 = 2·3 – 5
le3 = 6 – 5
le3 = 1
4ème mandat :
lenon = 2n - 5
le4 = 2·4 – 5
le4 = 8 – 5
le4 = 3
5ème mandat :
le5 = 2n - 5
le5 = 2·5 – 5
le5 = 10 – 5
le5 = 5
La séquence est donc :
(– 1, 1, 3, 5 … )
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Progression arithmétique et progression géométrique
Ils existent cas particuliers de séquences qui sont connus comme la progression arithmétique et la progression géométrique. Une séquence est une progression lorsqu'il y a une raison pour un terme pour son successeur.
progression arithmétique
Quand on connaît le premier terme de la suite et, pour trouver le second,nous ajoutons le premier à une valeur r et pour trouver le troisième terme, on ajoute le second à cette même valeur. r, et ainsi de suite, la chaîne est classée comme un progression arithmétique.
Exemple:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Il s'agit d'une progression arithmétique de rapport égal à 4 et de premier terme égal à 1.
Notez que pour trouver le successeur d'un nombre dans la séquence, il suffit d'ajouter 4, donc on dit que 4 est la raison de cette progression arithmétique.
Progression géométrique
À progression géométrique, il y a aussi une raison, mais dans ce cas, pour trouver le successeur d'un terme, il faut multiplier le terme par le rapport.
Exemple:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Il s'agit d'une progression géométrique de rapport égal à 3 et de premier terme égal à 2.
Notez que pour trouver le successeur d'un nombre dans cette séquence, il suffit de multiplier par 3, ce qui fait que le rapport de cette progression géométrique est de 3.
exercices résolusà propos de la séquence de nombres
Question 1 - En analysant la séquence (1, 4, 9, 16, 25, … ), on peut dire que les deux prochains nombres seront :
A) 35 et 46.
B) 36 et 49.
C) 30 et 41.
D) 41 et 66.
Résolution
Variante B.
Pour trouver les termes de la séquence, il est important de trouver une régularité dans la séquence, c'est-à-dire de comprendre sa loi d'occurrence. Notons que, du premier terme au deuxième terme, on ajoute 3; du deuxième au troisième terme, on ajoute 5; du troisième au quatrième terme et du quatrième au cinquième terme, on ajoute respectivement 7 et 9, donc la somme augmente de deux unités à chaque terme de la suite, c'est-à-dire que dans le suivant, nous ajouterons 11, puis 13, puis 15, puis 17 et ainsi de suite successivement. Pour trouver le successeur de 25, nous ajouterons 11.
25 + 11 = 36.
Pour trouver le successeur de 36, nous allons ajouter 13.
36 + 13 = 49
Les prochains termes seront donc 36 et 49.
Question 2 - (Institut AOCP) Ensuite, une séquence numérique est présentée, telle que les éléments de cette séquence ont été disposés obéissant à une loi (logique) de formation, où x et y sont des nombres entiers: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). En observant cette séquence et en trouvant les valeurs de x et y, en suivant la loi de formation de la séquence donnée, il est correct d'affirmer que
A) x est un nombre supérieur à 30.
B) y est un nombre inférieur à 5.
C) la somme de x et y donne 25.
D) le produit de x par y est 106.
E) la différence entre y et x, dans cet ordre, est un nombre positif.
Résolution
Variante C.
On veut trouver les 7e et 8e termes de cette suite.
En analysant la loi d'occurrence de la suite (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), il est possible de voir qu'il existe une logique pour les termes impairs (1er terme, 3ème terme, 5ème terme… ). Notez que le 3ème terme est égal au 1er terme moins 2, puisque 24 – 2 = 22. En utilisant cette même logique, le 7ème terme, représenté par x, sera le 5ème terme moins 2, c'est-à-dire x = 20 – 2 = 18.
Il y a une logique similaire pour les termes pairs (2ème terme, 4ème terme, 6ème terme…): le 4ème terme est le 2ème terme moins 2, puisque 13 – 2 = 11, et ainsi de suite. On veut le 8ème terme, représenté par y, qui sera le 6ème terme moins 2, donc y = 9 – 2 = 7.
On a donc x = 18 et y = 7. En analysant les alternatives, nous avons que x + y = 25, c'est-à-dire que la somme de x et y donne 25.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm
