Plusieurs aspects peuvent être analysés pour définir si une figure est similaire à une autre. Par exemple, dans les triangles, il y a au moins quatre cas de congruence. Mais, en général, il est possible de dire que deux ou plusieurs figures sont similaires si elles ont les mêmes angles, le même nombre de côtés et une certaine proportion entre les mesures des côtés. Une alternative présentée pour la construction de figures similaires est la homothétie.
L'homothétie est un type de transformation géométrique qui passe au second plan lorsque le sujet est la similitude des figures. Cependant, c'est un allié de poids pour l'agrandissement ou la réduction de figures géométriques. En général, lors de l'application d'une dilatation à un dessin, les principales caractéristiques, telles que la forme et les angles, sont conservées; mais la taille de la figure change. Cette relation peut être expliquée par la dérivation grecque du mot homothetia, dans lequel homos moyens égal, et thétos, placé, c'est-à-dire que les figures homothétiques sont placées à une distance égale à « quelque chose ». Les copieurs qui font des agrandissements ou des réductions utilisent généralement l'homothétie comme principe dans leur fonctionnement. Voyons un peu plus sur les figures homothétiques ci-dessous :
Relation de dilatation entre segments UN B, UN B' et UN B''
Dans la figure ci-dessus, il y a un segment UN B à partir de laquelle vous voulez créer un segment à partir de A qui a deux fois ce segment. Pour cela, créez le segment UN B', surligné en rouge dans la figure ci-dessus. Ainsi, on peut dire que :
UN B' = 2. UN B ou encore
UN B = 1
UN B' 2
Dans ce cas, il y a une homothétie A-centrée. Le point B' est appelé Image (ou alors homothétique) du point B.
Si vous vouliez tracer un nouveau segment qui avait le triple du segment initial, il y aurait le segment UN B'', surligné en vert sur la figure, ce qui correspondrait au triple de la longueur de UN B. Par conséquent, parmi ces segments, il y aurait la raison suivante :
UN B'' = 3. UN B ou encore
UN B = 1
UN B'' 3
Dans ce cas, il y a une dilatation centrée sur A, et le point B'' est l'image du point B ou l'homothétique du point B.
Est-il possible d'établir une relation entre UN B' et UN B''? si UN B' = 2. UN B et UN B'' = 3. UN B, bientôt:
UN B' = 2. UN B → UN B = 1 . UN B'
2
UN B'' = 3. UN B → UN B = 1 . UN B''
3
Par conséquent:
1 . UN B' = 1 . UN B''
2 3
UN B' = 2 . UN B''
3
Le rapport entre les segments UN B' et UN B'' c'est de ⅔.
Regardez maintenant un rapport de dilatation pour agrandir un hexagone. En partant du centre A, il y a une dilatation de rapport 3, car la longueur du segment UN B' est le triple du segment UN B. Il est possible de voir que le motif est conservé par rapport à tous les autres sommets de l'hexagone. Bien que l'hexagone n'ait pas changé sa forme initiale, la mesure de ses côtés a augmenté trois fois, mais ses angles internes sont restés inchangés.
Grâce à une relation de dilatation, nous pouvons garantir que les hexagones sont similaires, mais le plus grand est trois fois la taille du plus petit
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
