O L'appareil pratique de Briot-Ruffini c'est une façon de diviser un polynôme de degré n > 1 par un binôme de 1er degré de la forme x – a. Cette méthode est un moyen simple d'effectuer la division entre un polynôme et un binôme, car effectuer cette opération en utilisant la définition est assez laborieuse.
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Division pas à pas des polynômes par la méthode de Briot-Ruffini
Ce dispositif peut être utilisé dans la division entre un polynôme P(x) de degré n supérieur à 1 (n >1) et un binôme de type (x – a). Suivons l'exemple pas à pas dans l'exemple suivant :
Exemple
En utilisant le dispositif pratique de Briot-Ruffini, diviser le polynôme P(x) = 3x3 + 2x2 + x +5 par le binôme D(x) = x +1. |
Étape 1 – Tracez deux segments de ligne, un horizontalement et un verticalement.
Étape 2 – Placer les coefficients du polynôme P(x) sur le segment horizontal et à droite du segment vertical et répéter le premier coefficient en bas. Du côté gauche du segment vertical, nous devons placer la racine du binôme. Pour déterminer la racine d'un binôme, il suffit de le mettre à zéro, comme ceci :
x + 1 = 0
x = – 1
Étape 3 – Multiplions la racine du diviseur par le premier coefficient situé en dessous de la ligne horizontale puis additionnons le résultat par le prochain coefficient situé au-dessus de la ligne horizontale. Ensuite, répétons le processus jusqu'au dernier coefficient, dans ce cas le coefficient 5. Voir:
Après avoir effectué ces trois étapes, regardons ce que l'algorithme nous donne. En haut de la ligne horizontale et à droite de la ligne verticale, on a les coefficients du polynôme P(x), comme ceci :
P(x) = 3x3 + 2x2 + x +5
Le nombre –1 est la racine du diviseur et donc le diviseur est D(x) = x + 1. Enfin, le quotient peut être trouvé avec les nombres situés sous la ligne horizontale, le dernier nombre étant le reste de la division.
rappelez-vous que le le grade de dividende est de 3 C'est le le degré du diviseur est 1, donc le degré du quotient est donné par 3 – 1 = 2. Le quotient est donc :
Q(x) = 3X2 – 1x + 2
Q(x) = 3x2 – x + 2
Notez encore que les coefficients (marqués en vert) sont obtenus avec les nombres en dessous de la ligne horizontale et que le reste de la division est: R(x) = 3.
En utilisant le algorithme de division, Nous devons:
Dividende = Diviseur · Quotient + Repos
3x3 + 2x2 + x +5 = (x + 1) · (3x2 – x + 2) + 3
exercices résolus
question 1 – (Furg) Dans la division d'un polynôme P(x) par le binôme (x – a), en utilisant le dispositif pratique de Briot-Ruffini, nous avons trouvé :
Les valeurs de a, q, p et r sont respectivement :
a) – 2; 1; – 6 et 6.
b) – 2; 1; – 2 et – 6.
c) 2; – 2; – 2 et – 6.
d) 2; – 2; 1 et 6.
e) 2; 1; – 4 et 4.
Solution:
Notez que l'énoncé indique que le polynôme P(x) a été divisé par le binôme (x – a), ce sera donc le diviseur. Du dispositif pratique de Briot-Ruffini, nous avons que le nombre à gauche de la ligne verticale est la racine du diviseur, donc a = – 2.
Basé également sur le dispositif pratique de Briot-Ruffini, nous savons qu'il est nécessaire de répéter le premier coefficient du dividende en dessous de la ligne horizontale, donc q = 1.
Pour déterminer la valeur de p, utilisons à nouveau l'appareil pratique. Voir:
– 2 · q + p = – 4
Nous savons que q = 1, découvert plus tôt, comme ceci :
– 2 · 1 + p = – 4
– 2 + p = – 4
p = – 4 + 2
p = –2
De même, nous devons :
– 2 · 5 +4 = r
– 10 + 4 = r
r = – 6
Par conséquent, a = – 2; q = 1; p = –2; r = – 6.
Réponse: alternative b.
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Question 2 - Diviser le polynôme P(x) = x4 – 1 par le binôme D(x) = x – 1.
Solution:
Notez que le polynôme P(x) n'est pas écrit sous sa forme complète. Avant d'appliquer le dispositif pratique de Briot-Ruffini, il faut l'écrire dans sa forme complète. Voir:
P(x) = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 1
Cette observation faite, nous pouvons continuer le dispositif pratique de Briot-Ruffini. Déterminons la racine du diviseur, puis appliquons l'algorithme :
x - 1 = 0
x = 1
On peut conclure qu'en divisant le polynôme P(x) = x4 – 1 par le binôme D(x) = x – 1, on a: polynôme Q(x) = x3 + x2 + x + 1 et reste R(x) = 0.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-polinomios-utilizando-dispositivo-briotruffini.htm