UN matrice d'identité est un type particulier de quartier général. Nous savons que la matrice d'identité In la matrice carrée d'ordre n qui a tous les termes de la diagonale égaux à 1 et les termes n'appartenant pas à la diagonale principale égaux à 0. La matrice d'identité est considérée comme l'élément neutre de la multiplication, c'est-à-dire si l'on multiplie une matrice M par la matrice identité, on retrouve comme résultat la matrice elle-même M.
Voir aussi: Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ?
Thèmes de cet article
- 1 - Résumé sur la matrice d'identité
-
2 - Qu'est-ce que la matrice identité ?
- ? Types de matrice d'identité
- 3 - Propriétés de la matrice identité
- 4 - Multiplication de la matrice identité
- 5 - Exercices résolus sur la matrice identité
Résumé sur la matrice d'identité
La matrice identité est la matrice carrée dont les éléments sur la diagonale principale sont égaux à 1 et dont les autres éléments sont égaux à 0.
Il existe des matrices d'identité d'ordres différents. Nous représentons la matrice identité d'ordre n par moi n.
La matrice identité est l'élément neutre de la multiplication matricielle, c'est-à-dire \( A\cdot I_n=A.\)
Le produit d'une matrice carrée et de sa matrice inverse est la matrice identité.
Qu'est-ce qu'une matrice d'identité ?
La matrice d'identité est une type spécial de matrice carrée. Une matrice carrée est appelée matrice identité si elle a tous les éléments sur la diagonale principale égaux à 1 et tous les autres éléments égaux à 0. Alors, dans chaque matrice identité :
➝ Types de matrice d'identité
Il existe des matrices d'identité d'ordres différents. l'ordre n est représenté par jen. Voyons ci-dessous quelques matrices d'autres ordres.
Matrice d'identité d'ordre 1 :
\(I_1=\gauche[1\droite]\)
Matrice d'identité d'ordre 2 :
\(I_2=\left[\begin{matrice}1&0\\0&1\\\end{matrice}\right]\)
Matrice d'identité d'ordre 3 :
\(I_3=\left[\begin{matrice}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
Matrice d'identité d'ordre 4 :
\(I_4=\left[\begin{matrice}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
Matrice d'identité d'ordre 5 :
\(I_5=\left[\begin{matrice}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
Successivement, on peut écrire des matrices identités d'ordres différents.
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Propriétés de la matrice d'identité
La matrice identité a une propriété importante, car c'est l'élément neutre de la multiplication entre les matrices. Cela signifie que toute matrice multipliée par la matrice identité est égale à elle-même. Ainsi, étant donnée la matrice M d'ordre n,nous avons:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Une autre propriété importante de la matrice identité est que la produit d'une matrice carrée et de son matrice inverse est la matrice identité. Soit une matrice carrée M d'ordre n, le produit de M par son inverse est donné par :
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
A lire aussi: Qu'est-ce qu'une matrice triangulaire ?
Multiplication de la matrice d'identité
Lorsque l'on multiplie une matrice M par la matrice identité d'ordre n, on obtient la matrice M comme résultat. Voyons, ci-dessous, un exemple de produit de la matrice M d'ordre 2 par la matrice identité d'ordre 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrice}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrice}\right) \) C'est \(I_n=\left(\begin{matrice}1&0\\0&1\\\end{matrice}\right)\)
En supposant que :
\(A\cdot I_n=B\)
Nous avons:
\(B\ =\left(\begin{matrice}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrice}\right)\)
Donc le produit de A par \(Dans\) ce sera:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
A noter que les termes de la matrice B sont identiques aux termes de la matrice A, c'est-à-dire :
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrice}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrice}\right]=A\)
Exemple:
Être M La matrice \(M=\ \left[\begin{matrice}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrice}\right]\), calculer le produit entre la matrice M et la matrice \(I_3\).
Résolution:
En effectuant la multiplication, on a :
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrice}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrice}\right]\cdot\left[\begin{matrice}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrice}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ + \ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot 1\\\end{matrice}\right]\ )
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrice}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrice}\right]\)
Exercices résolus sur la matrice d'identité
question 1
Il existe une matrice carrée d'ordre 3 qui est définie par \(a_{ij}=1 \) quand \(i=j\) C'est \(a_{ij}=0\) C'est quand \(i\neq j\). Cette matrice est du type :
UN) \( \left[\begin{matrice}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrice}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrice}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrice}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrice}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrice}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
ET) \( \left[\begin{matrice}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrice}\right]\)
Résolution:
Variante D
En analysant la matrice, nous avons :
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Ainsi, la matrice est égale à:
\(\left[\begin{matrice}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrice}\right]\)
question 2
(UEMG) Si la matrice inverse de \(A=\left[\begin{matrice}2&3\\3&x\\\end{matrice}\right]\) é \( \left[\begin{matrice}5&-3\\-3&2\\\end{matrice}\right]\), la valeur de x est :
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Résolution:
Variante A
En multipliant les matrices, on se rend compte que leur produit est égal à la matrice identité. En calculant le produit de la deuxième ligne de la matrice par la première colonne de son inverse, on a :
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
Souhaitez-vous référencer ce texte dans un travail scolaire ou universitaire? Regarder:
OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Matrice d'identité"; École du Brésil. Disponible en: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Consulté le 20 juillet 2023.
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