Un racine carrée approximative est une représentation finie d'un nombre irrationnel. Dans de nombreux cas, lorsque vous travaillez avec racines carrées, une estimation avec quelques décimales suffit pour nos calculs.
La calculatrice est un outil important dans ce processus. Son affichage, qui a un espace limité, indique une bonne approximation pour les racines carrées non exactes. Mais il est également possible de trouver ces estimations sans l'aide d'une calculatrice, comme nous le verrons plus loin.
Lire aussi: Enracinement - tout sur l'opération de potentialisation inverse
Thèmes de cet article
- 1 - Résumé sur la racine carrée approximative
- 2 - Leçon vidéo sur la racine carrée approximative
- 3 - Comment est calculée la racine carrée approximative ?
- 4 - Différences entre racine carrée approchée et racine carrée exacte
- 5 - Exercices résolus sur la racine carrée approximative
Résumé approximatif de la racine carrée
Une racine carrée inexacte est un nombre irrationnel.
Nous pouvons trouver des valeurs approximatives pour les racines carrées non exactes.
La précision de l'approximation dépend du nombre de décimales utilisées.
L'approximation peut se faire de différentes manières, y compris à l'aide de la calculatrice.
Trouver une approximation y de la racine carrée de x signifie que y² est très proche de x, mais y² n'est pas égal à x.
Leçon vidéo sur la racine carrée approximative
Comment calculer la racine carrée approximative ?
Il existe différentes manières pour calculer l'approximation d'une racine carrée. L'un d'eux est la calculatrice! Par exemple, lorsque nous écrivons \(\sqrt{2}\) sur la calculatrice et cliquez sur =, le nombre obtenu est une approximation. Il en va de même avec \(\sqrt{3}\) C'est \(\sqrt{5}\), qui sont également des racines carrées non exactes, c'est-à-dire des nombres irrationnels.
Une autre façon est d'utiliser des racines exactes proches de la racine non exacte étudiée. Cela vous permet de comparer les représentations décimales et de trouver une plage pour la racine non exacte. Ainsi, nous pouvons tester certaines valeurs jusqu'à ce que nous trouvions une bonne approximation.
Cela semble difficile, mais ne vous inquiétez pas: c'est un processus de test. Regardons quelques exemples.
Exemples
Trouver une approximation à deux décimales pour \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
réaliser que \(\sqrt{4}\) C'est \(\sqrt{9}\) sont les racines exactes les plus proches de \(\sqrt{5}\). N'oubliez pas que plus le radicande est grand, plus la valeur de la racine carrée est grande. Ainsi, nous pouvons conclure que
\(\sqrt{4}
\(2
C'est à dire, \(\sqrt5\) est un nombre compris entre 2 et 3.
C'est maintenant le moment de tester: on choisit des valeurs entre 2 et 3 et on vérifie si chaque nombre au carré se rapproche de 5. (Rappelez-vous que \(\sqrt5=a\) si \(a^2=5\)).
Par souci de simplicité, commençons par des nombres avec une décimale :
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Notez que nous n'avons même pas besoin de continuer à analyser les nombres à une décimale: le nombre que nous recherchons est compris entre 2,2 et 2,3.
\(2,2
Maintenant que nous recherchons une approximation à deux décimales, procédons aux tests :
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Encore une fois, nous pouvons arrêter l'analyse. Le nombre que vous recherchez est compris entre 2,23 et 2,24.
\(2.23
Mais et maintenant? Laquelle de ces valeurs à deux décimales choisissons-nous comme approximation de \(\sqrt5\)? Les deux sont de bonnes options, mais notez que la meilleure est celle dont le carré est le plus proche de 5 :
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
C'est à dire, \(2,24^2 \) est plus proche de 5 que \(2,23^2\).
Ainsi, la meilleure approximation à deux décimales pour \(\sqrt5\) é 2,24. Nous écrivons que \(\sqrt5≈2.24\).
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Trouver une approximation à deux décimales pour \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
On pourrait commencer de la même manière que dans l'exemple précédent, c'est-à-dire chercher des racines exactes dont les radicandes sont proches de 20, mais notez qu'il est possible de diminuer la valeur du radicande et de faciliter la comptes:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Notez que nous avons effectué la décomposition du radicande 20 et utilisé une propriété d'enracinement.
Maintenant comment \(\sqrt20=2\sqrt5\), on peut utiliser l'approximation avec deux décimales pour \(\sqrt5\) de l'exemple précédent :
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Observation: Comme nous utilisons un nombre approximatif (\(\sqrt5≈2.24\)), la valeur 4,48 n'est peut-être pas la meilleure approximation avec deux décimales pour \(\sqrt{20}\).
A lire aussi: Comment calculer la racine cubique d'un nombre ?
Différences entre la racine carrée approximative et la racine carrée exacte
Une racine carrée exacte est un nombre rationnel. réaliser que \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) C'est \(\sqrt{121}\) sont des exemples de racines carrées exactes, comme \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) C'est \(\sqrt{121}=11\). De plus, lorsque nous appliquons l'opération inverse (c'est-à-dire potentialisation avec l'exposant 2), on obtient le radicande. Dans les exemples précédents, nous avons \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) C'est \(11^2=121\).
Une racine carrée inexacte est un nombre irrationnel (c'est-à-dire un nombre avec une infinité de décimales non répétitives). Ainsi, nous utilisons des approximations dans sa représentation décimale. réaliser que \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) C'est \(\sqrt6\) sont des exemples de racines non exactes, car \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) C'est \(\sqrt6≈2.44949\). De plus, lorsque nous appliquons l'opération inverse (c'est-à-dire la potentialisation avec l'exposant 2), nous obtenons une valeur proche du radicande, mais non égale. Dans les exemples précédents, nous avons \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) C'est \(2,44949^2=6,00000126\).
Exercices résolus sur la racine carrée approximative
question 1
Classez les nombres suivants dans l'ordre croissant: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Résolution
réaliser que \(\sqrt{150}\) est une racine carrée non exacte et \(\sqrt{144}\) est exact (\(\sqrt{144}=12\)). Ainsi, il suffit d'identifier la position de \(\sqrt{150}\).
noter que \(13=\sqrt{169}\). Considérant que plus le radicande est grand, plus la valeur de la racine carrée est grande, on a que
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Donc, en rangeant les nombres par ordre croissant, on a
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
question 2
Parmi les alternatives suivantes, quelle est la meilleure approximation avec une décimale pour le nombre \(\sqrt{54}\)?
a) 6,8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7,8
e) 8.1
Résolution
Variante C
noter que \(\sqrt{49}\) C'est \(\sqrt{64}\) sont les racines carrées exactes les plus proches de \(\sqrt{54}\). Comme \(\sqrt{49}=7\) C'est \(\sqrt{64}=8\), Nous devons
\(7
Voyons quelques possibilités d'approximation avec une décimale pour \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Notez qu'il n'est pas nécessaire de poursuivre les tests. De plus, parmi les alternatives, 7,3 est la meilleure approximation à une décimale pour \(\sqrt{54}\).
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
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