UN proportion doré ou la proportion divine est une égalité associée aux idées d'harmonie, de beauté et de perfection. Euclide d'Alexandrie, mathématicien grec qui a vécu vers 300 av. C., a été l'un des premiers penseurs à formaliser ce concept qui jusqu'à aujourd'hui intrigue les chercheurs de différents domaines.
La raison de cet intérêt est que le nombre d'or peut être observé de manière approximative dans la nature, y compris dans les graines et les feuilles des plantes et dans le corps humain. Par conséquent, le nombre d'or fait l'objet d'études par différents professionnels, tels que des biologistes, des architectes, des artistes et des designers.
A lire aussi: Nombre pi - l'une des constantes les plus importantes en mathématiques
Thèmes de cet article
- 1 - Résumé du nombre d'or
- 2 - Comment calculer le nombre d'or ?
- 3 - Le nombre d'or et la suite de Fibonacci
- 4 - Le nombre d'or et le rectangle d'or
-
5 - Applications du nombre d'or
- Nombre d'or en architecture
- Nombre d'or dans le corps humain
- nombre d'or dans l'art
- Nombre d'or dans la nature
- Nombre d'or dans la conception
- 6 - Exercices résolus sur le nombre d'or
Résumé sur le nombre d'or
Le nombre d'or est le rapport pour \(a>b>0\) tel que
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Dans ces conditions, la raison LeB s'appelle le nombre d'or.
Le nombre d'or est lié aux conceptions d'équilibre, de pureté et de perfection.
La lettre grecque ϕ (lire: fi) représente le nombre d'or, qui est la constante obtenue à partir du nombre d'or.
Dans la suite de Fibonacci, les quotients entre chaque terme et son prédécesseur se rapprochent du nombre d'or.
Le rectangle d'or est un rectangle dont les côtés sont dans le nombre d'or.
Qu'est-ce que le nombre d'or ?
Considérons un segment de droite divisé en deux parties: la plus grande de mesure Le et le plus petit B. réaliser que a+b est la mesure du segment entier.
le nombre d'or est l'égalité parmi les raisons\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) C'est \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), c'est à dire
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Dans ce contexte, nous disons que Le C'est B sont en nombre d'or.
Mais pour quelles valeurs de Le C'est B avons-nous le nombre d'or? C'est ce que nous verrons ensuite.
Ne vous arrêtez pas maintenant... Y'en a plus après la pub ;)
Comment calculer le nombre d'or ?
La raison \(\frac{a}b\)(ou, de même, la raison \(\frac{a+b}a\)) donne une constante appelée nombre d'or et représenté par la lettre grecque ϕ. Ainsi, il est courant d'écrire
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Pour calculer le nombre d'or, considérons le nombre d'or pour b = 1. Ainsi, on trouve facilement la valeur de Le et obtenir ϕ de l'égalité \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Notez que nous pouvons écrire le nombre d'or comme suit, en utilisant la propriété de multiplication croisée :
\(a^2=b⋅(a+b)\)
En substituant b = 1, on a
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Application de la formule de Bhaskara pour cette équation quadratique, on conclut que la solution positive de Le é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Comme Le est une mesure d'un segment, nous négligerons la solution négative.
Alors comment \(\frac{a}b=ϕ\), La valeur exacte du nombre d'or est :
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
En calculant le quotient, on obtient La valeur approximative du nombre d'or :
\(ϕ≈1,618033989\)
Voir aussi: Comment résoudre des opérations mathématiques avec des fractions ?
Nombre d'or et suite de Fibonacci
UN La suite de Fibonacci est une liste de nombres où chaque terme, à partir du troisième, est égal à la somme des deux prédécesseurs. Regardons les dix premiers termes de cette suite :
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
En calculant le quotient entre chaque terme et son prédécesseur dans la suite de Fibonacci, nous approchons du nombre d'or ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
Nombre d'or et rectangle d'or
Un rectangle où le côté le plus long Le et le petit côté B sont en nombre d'or ça s'appelle le rectangle d'or. Un exemple de rectangle doré est un rectangle dont les côtés mesurent 1 cm et \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Savoir plus: Que sont les grandeurs directement proportionnelles ?
Applications du nombre d'or
Notez que, jusqu'à présent, nous avons étudié le nombre d'or uniquement dans des contextes mathématiques abstraits. Ensuite, nous verrons quelques exemples appliqués, mais il faut faire attention: le nombre d'or n'est présenté exactement dans aucun de ces cas. Ce qui existe, ce sont des analyses de différents contextes dans lesquels le nombre d'or apparaît ainsiapproximatif.
Nombre d'or en architecture
Certaines études affirment que des estimations du nombre d'or sont observées dans certains rapports des dimensions de la pyramide de Khéops, en Égypte, et du bâtiment du siège de l'ONU, à New York.
Nombre d'or dans le corps humain
Les mesures du corps humain varient d'une personne à l'autre et il n'y a pas de type de corps parfait. Cependant, au moins depuis la Grèce antique, il y a eu des débats sur un corps mathématiquement idéal (et totalement inaccessible en réalité), avec des mesures liées au nombre d'or. Dans ce contexte théorique, par exemple, le rapport entre la taille d'une personne et la distance entre son nombril et le sol serait le nombre d'or.
nombre d'or dans l'art
Il y a des recherches sur les œuvres "L'Homme de Vitruve" et "Mona Lisa", de l'italien Léonard de Vinci, qui suggèrent la utilisation de rectangles dorés.
Nombre d'or dans la nature
Il existe des études qui indiquent une relation entre le nombre d'or et la manière dont les feuilles de certaines plantes sont réparties sur une tige. Cette disposition des feuilles s'appelle la phyllotaxie.
Nombre d'or dans la conception
Le nombre d'or est également étudié et utilisé dans le domaine du Design en tant que outil de composition de projet.
Exercices résolus sur le nombre d'or
question 1
(Enem) Un segment de ligne est divisé en deux parties dans le nombre d'or lorsque le tout est à l'une des parties dans le même rapport que cette partie est à l'autre. Cette constante de proportionnalité est communément représentée par la lettre grecque ϕ, et sa valeur est donnée par la solution positive de l'équation ϕ2 = ϕ+1.
Tout comme le pouvoir \(ϕ^2\), les puissances supérieures de ϕ peuvent être exprimées sous la forme \(aϕ+b\), où a et b sont des entiers positifs, comme indiqué dans le tableau.
la puissance \(ϕ^7\), écrit sous la forme aϕ+b (a et b sont des entiers positifs), est
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Résolution
Comme \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Nous devons
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
En appliquant la distributive,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Comme \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternative.
question 2
Évaluez chaque énoncé ci-dessous concernant le nombre d'or comme V (vrai) ou F (faux).
je. Le nombre d'or ϕ est irrationnel.
II. Les quotients entre chaque terme et son prédécesseur dans la suite de Fibonacci se rapprochent de la valeur de ϕ.
III. 1,618 est l'arrondi à trois décimales du nombre d'or ϕ.
La séquence correcte, de haut en bas, est
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Résolution
je. Vrai.
II. Vrai.
III. Vrai.
Variante A.
Sources
FRANCISCO, S. V. de L. Entre la fascination et la réalité du nombre d'or. Dissertation (Master Professionnel en Mathématiques en Réseau National) – Institut de Biosciences, Lettres et Sciences Exactes, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Disponible en: http://hdl.handle.net/11449/148903.
VENTES, J. de S Le nombre d'or présent dans la nature. Achèvement des travaux de cours (licence en mathématiques), Institut fédéral de l'éducation, des sciences et de la technologie de Piauí. Piaui, 2022. Disponible en http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
Comprendre ce que c'est et comment calculer la vitesse moyenne et la densité de population.
Apprenez ce que c'est et comment utiliser la formule de Bhaskara pour résoudre des équations quadratiques !
Comprendre ce que sont des quantités directement proportionnelles et apprendre à résoudre des situations problématiques impliquant ce type de relation.
Apprenez ici comment déterminer si deux quantités ou nombres sont inversement proportionnels. Découvrez des exemples et des exercices sur le sujet !
Apprenez ici ce qu'est une proportion et comment la calculer. Voir aussi ses principales propriétés et comprendre ce que sont les quantités proportionnelles.
Voir ici les différentes manières de représenter un rapport, voir aussi la définition et quelques applications de la proportion. Apprenez à appliquer ces concepts.
Apprenez à utiliser la règle composée de trois pour trouver des valeurs inconnues et des problèmes avec trois ou quatre quantités.
Connaître la règle de trois. Comprendre ce que sont les quantités directes et inversement proportionnelles. Connaître la différence entre la règle simple de trois et la règle composée.
Séquences numériques: séquence de Fibonacci.
