O apothème d'un polygone est un segment dont les extrémités sont au centre du polygone et au milieu de l'un des côtés. Ce segment forme un angle de 90° avec le côté respectif du polygone.
Pour calculer la mesure de l'apothème, il faut tenir compte des caractéristiques du polygone en question. Selon la forme géométrique, il est possible de construire une formule pour obtenir cette mesure. Une observation importante est que la mesure de l'apothème d'un polygone régulier est égale à la mesure du rayon de la circonférence inscrite dans le polygone.
A lire aussi: Quelle est la bissectrice ?
Résumé sur l'apothème
L'apothème est le segment d'un polygone qui relie le centre (point de rencontre des bissectrices perpendiculaires) au milieu d'un des côtés.
L'angle entre l'apothème et le côté respectif du polygone mesure 90°.
La mesure de l'apothème d'un polygone régulier est égale à la mesure du rayon du cercle inscrit dans le polygone.
L'apothème OM d'un triangle équilatéral de côté je est donné par la formule
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
L'apothème OM d'un carré de côté je est donné par la formule
\(OM = \frac{l}2\)
L'apothème OM d'un hexagone régulier d'un côté je est donné par la formule
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
L'apothème d'une pyramide est le segment qui joint le sommet au milieu de l'une des arêtes de la base, et sa mesure peut être obtenue par le théorème de Pythagore.
Exemples d'apothème
Pour trouver l'apothème d'un polygone, il faut construire le segment de droite joignant le centre du polygone au milieu de l'un des côtés. Rappelez-vous que le centre d'un polygone est l'endroit où les bissectrices se rencontrent.
Dans ces exemples, l'apothème a été considéré dans des polygones plans. Cependant, il existe un objet spatial qui a un autre type d'apothème: la pyramide.
Dans une pyramide, il existe deux types d'apothèmes: l'apothème de la base, qui est l'apothème du polygone qui forme la base de la pyramide, et l'apothème de la pyramide, qui est le segment joignant le sommet au milieu d'une arête de base (c'est-à-dire qu'il s'agit de la hauteur d'une face latérale de la base). pyramide).
Dans l'exemple de base carrée ci-dessous, le segment OM est l'apothème de la base et le segment VM est l'apothème de la pyramide, M étant le milieu de BC.
Quelles sont les formules de l'apothème ?
Connaissant les caractéristiques d'un polygone, en particulier des polygones réguliers, on peut développer des formules pour calculer la mesure de l'apothème. Voyons quelles sont ces formules pour les principaux polygones réguliers.
Formule d'apothème du triangle équilatéral
Au cas du triangle équilatéral, la hauteur et la médiane par rapport à un côté donné sont les mêmes. Cela signifie que le centre du polygone coïncide avec le barycentre du triangle. Ainsi, le point O divise la hauteur AM comme suit :
\(AO = \frac{2}3h du matin\) C'est \(OM=\frac{1}3h du matin\)
Rappelez-vous que la mesure de hauteur d'un triangle équilatéral je est donné par:
\(Hauteur\triangle\équilatéral=\frac{l\sqrt3}2\)
Par conséquent, comme AM est la hauteur du triangle équilatéral ABC et que le segment OM est l'apothème du triangle, on peut élaborer l'expression suivante pour la mesure de OM, en considérant que le côté du triangle mesure je:
\(OM =\frac{1}3h = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
L'apothème de la formule carrée
Dans le cas du carré, la mesure de l'apothème correspond à la moitié de la longueur du côté. Ainsi, si O est le centre du carré, M est le milieu d'un des côtés, et je est la longueur du côté du carré, donc la formule de l'apothème OM est
\(OM=\frac{l}2\)
Formule d'apothème hexagonale régulière
Dans l'hexagone régulier, l'apothème correspond à la hauteur d'un triangle équilatéral ayant des sommets aux deux extrémités d'un des côtés et au centre du polygone. Dans l'exemple ci-dessous, l'apothème OM de l'hexagone régulier est la hauteur du triangle équilatéral OCD, où M est le milieu de CD.
Comme nous l'avons mentionné précédemment, l'altitude d'un triangle équilatéral est connue. Ainsi, si le côté d'un hexagone régulier mesure je, alors la formule de l'apothème OM est
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Formule Pyramide Apothem
La mesure de l'apothème de la pyramide peut être obtenue avec la Aide sur le théorème de Pythagore. Dans l'exemple ci-dessous, dans une pyramide carrée, le triangle VOM est un rectangle, avec les jambes VO et OM et l'hypoténuse VM. Notez que VO est la hauteur de la pyramide, OM est l'apothème de la base et VM est l'apothème de la pyramide.
Ainsi, pour déterminer la mesure de l'apothème de la pyramide, il faut appliquer le théorème de Pythagore :
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Minutieux! VM est la hauteur d'un triangle isocèle, pas d'un triangle équilatéral. Donc, dans ce cas, nous ne pouvons pas utiliser la formule de la hauteur d'un triangle équilatéral.
Comment l'apothème est-il calculé ?
Pour calculer l'apothème d'un polygone ou de la pyramide, on peut utiliser les formules construites ou associer l'apothème au rayon du cercle inscrit.
Exemple 1: Supposons qu'un cercle de rayon 3 cm soit inscrit dans un triangle équilatéral. Quelle est la mesure de l'apothème de ce triangle ?
Comme l'apothème d'un polygone a la même mesure que le rayon du cercle inscrit, l'apothème du triangle mesure 3 cm.
Exemple 2: Quelle est la mesure de l'apothème d'un hexagone régulier de 4 cm de côté ?
En utilisant la formule de l'apothème d'un hexagone régulier avec \(l=4\) cm, nous devons
\(Mesure\ de\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
A lire aussi: Tout sur les points remarquables d'un triangle
Exercices résolus sur l'apothème
question 1
Si une pyramide de 4 cm de haut a un apothème de base de 3 cm, alors la mesure de l'apothème de la pyramide est
a) 5 centimètres
b) 6cm
c) 7cm
d) 8cm
e) 9cm
Résolution:
Dans une pyramide, on peut construire un triangle rectangle dans lequel une jambe est l'apothème de la base, l'autre jambe est la hauteur de la pyramide et l'hypoténuse est l'apothème de la pyramide. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore à l'hypoténuse de mesure x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\cm\)
Variante A.
question 2
Si l'apothème d'un carré est y cm, alors le côté du carré est
Le) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2 ans cm
e) 3 ans cm
Résolution
L'apothème d'un carré est la moitié de la longueur du côté du carré. Donc, si l'apothème mesure y cm, le carré mesure 2y cm.
Variante D.
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
