polygone régulier et le polygone convexe qui a tous les côtés congrus et tous les angles intérieurs congrus, c'est-à-dire que les côtés ont la même mesure et les angles intérieurs ont aussi la même mesure. Le triangle équilatéral et le carré font partie des polygones réguliers connus.
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Résumé sur le polygone régulier
Polygone Régulier est celui qui a des côtés et des angles congruents.
Le périmètre d'un polygone régulier est la longueur du côté multipliée par le nombre de côtés :
\(P = n ⋅l \)
La mesure de chaque angle intérieur du polygone régulier est donnée par la formule suivante :
\(α=\frac{S_i}n\)
La mesure de l'angle extérieur d'un polygone régulier est donnée par la formule suivante :
\(e=\frac{360}n\)
L'apothème d'un polygone régulier est égal à la mesure du rayon d'un cercle circonscrit.
L'aire d'un polygone régulier est donnée par la formule suivante :
\(A=a⋅p\)
Alors que le polygone régulier a tous ses côtés et angles congrus, le polygone irrégulier n'a pas tous les côtés congrus ou n'a pas tous les angles congrus.
Cours vidéo sur les polygones réguliers
Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?
Les polygones réguliers sont polygones convexes équilatéraux et équiangulaires, c'est-à-dire qu'ils ont des côtés congruents et ont également angles avec la même mesure. N'oubliez pas que les polygones sont convexes lorsqu'un segment de ligne comportant des extrémités à l'intérieur est entièrement contenu dans le polygone. O triangle équilatéral et le carré sont des cas de polygones réguliers, mais il y a des pentagones, des hexagones, entre autres polygones qui sont également réguliers.
Périmètre du polygone régulier
Pour calculer le périmètre d'un polygone régulier, il suffit de multiplier la mesure de son côté par le nombre de côtés que ce polygone a. Comme il est équilatéral, le périmètre du polygone régulier est calculé par la formule :
\(P=n⋅l\)
n → nombre de côtés du polygone
je → longueur du côté du polygone
Exemple:
Quel est le périmètre d'un pentagone régulier dont les côtés mesurent 8 cm ?
Résolution:
En calculant le périmètre, sachant que le pentagone est régulier, on a :
\(P=5⋅8=40\cm\)
Angles intérieurs d'un polygone régulier
Un polygone régulier est équiangulaire, c'est-à-dire que tous les angles intérieurs ont la même mesure. Par conséquent, pour calculer la valeur de chaque angle, nous pouvons utiliser la somme de la formule des angles intérieurs et diviser par le nombre de côtés du polygone.
En général, pour calculer la valeur de la somme des angles intérieurs d'un polygone, on utilise la formule :
\(S_i=180⋅(n-2)\)
\(Si\) → somme des angles intérieurs du polygone
n → nombre de côtés du polygone
On sait que dans un polygone régulier tous les angles sont congrus. Par conséquent, la formule pour calculer la mesure de chacun des angles d'un polygone régulier est :
\(a_i=\frac{180⋅(n-2)}{n}\)
\(là\) → mesure de l'angle intérieur du polygone
Exemple:
Quelle est la longueur de chaque côté d'un octogone régulier ?
Résolution:
remplacer n = 8 dans la formule, on a :
\(a_i=\frac{180⋅(8-2)}{8}\)
\(a_i=\frac{180⋅6}{8}\)
\(a_i=\frac{1080}8\)
\(a_i=135°\)
Angles extérieurs d'un polygone régulier
La somme des angles extérieurs de tout polygone est de 360°. Pour calculer la mesure de chaque angle extérieur d'un polygone régulier, il suffit de diviser 360° par le nombre de côtés de ce polygone.
\(a_e=\frac{360}n\)
Exemple:
Quelle est la mesure de l'angle extérieur d'un triangle équilatéral ?
Résolution:
remplacer n = 5 dans la formule :
\(a_e=\frac{360}3\)
\(a_e=120°\)
Apothème de polygone régulier
L'apothème d'un polygone régulier est égal à la mesure du rayon d'un circonférence circonscrit, où l'apothème est la longueur du segment qui va du centre du polygone au côté, formant un angle de 90°.
Zone de polygone régulier
Pour calculer l'aire d'un polygone régulier, en plus des formules spécifiques au polygone existantes, il existe une formule que nous pouvons utiliser pour chaque polygone régulier:
\(A=a⋅p\)
Le → apothème
P → demi-périmètre (moitié du périmètre)
Exemple:
Un pentagone a des côtés de 4 cm et un apothème de 2,75 cm. Quelle est la valeur de votre territoire ?
Résolution:
Nous savons que:
\(A=a⋅p\)
Calcul du périmètre :
P = \(4⋅5\)
P = 20
Donc le demi-périmètre vaut :
20: 2 = 10
Donc, pour calculer l'aire, on a :
\(A=a⋅p\)
\(A=2.75⋅10\)
\(A=27,5\cm^2\)
Différence entre polygone régulier et polygone irrégulier
Un polygone régulier est un polygone à la fois équilatéral et équiangulaire. Sinon, le polygone serait irrégulier. Alors, Un polygone irrégulier est un polygone dont tous les côtés ne sont pas congrus ou tous les angles ne sont pas congrus..
Comme le polygone irrégulier a au moins un côté de mesure différente, les propriétés à trouver la mesure de chaque angle intérieur ou de chaque angle extérieur, par exemple, n'est pas valable pour le polygone régulier.
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Exercices de polygones réguliers
Un polygone qui a 12 côtés est appelé dodécagone. Si ce polygone est régulier, la mesure de chacun de ses angles intérieurs est :
A) 100°
B) 125°
C) 150°
D) 175°
E) 200°
Résolution:
Variante C
En calculant la mesure de chaque angle intérieur, nous savons que n = 12:
\(a_i=\frac{180⋅(12-2)}{12}\)
\(a_i=\frac{180⋅10}{12}\)
\(a_i=\frac{1800}{12}\)
\(a_i=150°\)
question 2
Le polygone est considéré comme régulier si :
A) ont des côtés parallèles égaux entre eux.
B) est un polygone équilatéral.
C) est un polygone équiangulaire.
D) est un polygone équilatéral et équiangulaire.
E) est un polygone avec au moins un côté de longueur différente.
Résolution:
Variante D
Un polygone est régulier s'il est à la fois équilatéral et équiangulaire, c'est-à-dire s'il a des côtés congrus entre eux et des angles congrus entre eux.
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/poligono-regular.htm