UN zone de diamant est la mesure de sa région intérieure. Une façon de calculer l'aire d'un losange est de déterminer la moitié du produit entre la grande diagonale et la petite diagonale, dont les mesures sont représentées par D C'est d respectivement.
A lire aussi: Comment calculer l'aire d'un carré ?
Résumé sur la zone du losange
Un losange est un parallélogramme ayant quatre côtés congrus et des angles congrus opposés.
Les deux diagonales d'un losange sont appelées la plus grande diagonale (D) et diagonale plus petite (d).
Chaque diagonale d'un losange divise ce polygone en deux triangles congruents.
Les deux diagonales du losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
La formule de calcul de l'aire du losange est la suivante :
\(A=\frac{D\fois d}{2}\)
éléments de losange
le diamant est un parallélogramme formé par quatre côtés de longueur égale et d'angles opposés de la même mesure. Dans le losange ci-dessous, nous avons \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\chapeau{P}=\chapeau{R}\) C'est \(\chapeau{Q}=\chapeau{S}\).
Les segments avec des extrémités aux sommets opposés sont les diagonales du losange. Dans l'image ci-dessous, nous appelons le segment \(\overline{PR}\) dans diagonale plus grande et la tranche \(\overline{QS}\) dans petite diagonale.
Propriétés diagonales du losange
Connaissons deux propriétés liées aux diagonales du losange.
Propriété 1 : Chaque diagonale divise le losange en deux triangles isocèles congrus.
Considérons d'abord la plus grande diagonale \(\overline{PR}\) d'un losange PQRS à côté de je.
réaliser que \(\overline{PR}\) Divisez le losange en deux triangles: PQR C'est PSR. Encore:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) c'est le côté commun.
Ainsi, par le critère LLL, les triangles PQR C'est PSR sont congruents.
Considérons maintenant la plus petite diagonale \(\overline{QS}\).
réaliser que \(\overline{QS} \) Divisez le losange en deux triangles: SQP C'est RQS. Encore:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) c'est le côté commun.
Ainsi, par le critère LLL, les triangles SQP C'est RQS sont congruents.
Propriété 2 : Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent au milieu l'une de l'autre.
L'angle formé par les diagonales \(\overline{PR}\) C'est \(\overline{QS}\) mesure 90°.
C'estO le point de rencontre des diagonales \(\overline{{PR}}\) C'est \(\overline{{QS}}\); comme ça, O est le milieu de \(\overline{PR}\) et est également le milieu de \(\overline{QS}\). si \( \overline{PR}\)donne-moi D C'est \(\overline{QS}\) donne-moi d, Cela signifie que:
\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Observation: Les deux diagonales d'un losange divisent cette figure en quatre triangles rectangles congrus. considère les triangles OQP, OQR, OSP C'est RRP. Notez que chacun a un côté de mesure. je (l'hypoténuse), une de mesure \(\frac{D}{2}\) et une autre mesure \(\frac{d}{2}\).
Voir aussi: Comparaison et similarité entre triangles
formule de l'aire du losange
C'est D la longueur de la plus grande diagonale et d la mesure de la plus petite diagonale d'un losange; La formule de l'aire du losange est :
\(A=\frac{D\fois d}{2}\)
Vous trouverez ci-dessous une démonstration de cette formule.
Selon la première propriété que nous avons étudiée dans ce texte, la diagonale \(\overline{QS}\) diviser le diamant PQRS en deux triangles congrus (SQP C'est RQS). Cela signifie que ces deux triangles ont la même aire. Par conséquent, l'aire du losange est le double de l'aire d'un de ces triangles.
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times A_{triangle} PQS\)
Selon la deuxième propriété que nous avons étudiée, la base du triangle SQP donne-moi d et les mesures de hauteur D2. Rappelez-vous que l'aire d'un triangle peut être calculée par base × hauteur2. Bientôt:
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times A_{triangle} PQS\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\fois d}{2}\)
Comment calculer l'aire d'un losange ?
Comme nous l'avons vu, si les mesures des diagonales sont renseignées, il suffit appliquer la formule pour calculer l'aire d'un losange:
\(A=\frac{D\fois d}{2}\)
Sinon, nous devons adopter d'autres stratégies, en tenant compte, par exemple, des propriétés de ce polygone.
Exemple 1: Quelle est l'aire d'un losange dont les diagonales mesurent 2 cm et 3 cm ?
En appliquant la formule, nous avons :
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\fois d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=3 cm²\)
Exemple 2 : Quelle est l'aire d'un losange dont le côté et la plus petite diagonale mesurent, respectivement, 13 cm et 4 cm ?
En observant la propriété 2, les diagonales d'un losange divisent ce polygone en quatre triangles rectangles conforme. Chaque triangle rectangle a des jambes de mesure \(\frac{d}{2}\) C'est \(\frac{D}{2}\) et mesurer l'hypoténuse je. Par le théorème de Pythagore:
\(l^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\)
remplacer \(d=4 cm\) C'est j=4 cm, nous devons
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
Comme D est la mesure d'un segment, on ne peut considérer que le résultat positif. C'est à dire:
J=6
En appliquant la formule, nous avons :
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\fois d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 12 cm²\)
Savoir plus: Formules utilisées pour calculer l'aire des figures planes
Exercices sur la zone du losange
question 1
(Fauel) Dans un losange, les diagonales mesurent 13 et 16 cm. Quelle est la mesure de votre région?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Résolution: alternative C
En appliquant la formule, nous avons :
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\fois d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\ 104 cm²\)
question 2
(Fepese) Une usine produit des pièces en céramique en forme de losange, dont la petite diagonale mesure le quart de la grande diagonale et la grande diagonale mesure 84 cm.
Par conséquent, la superficie de chaque pièce en céramique produite par cette usine, en mètres carrés, est de :
a) supérieur à 0,5.
b) supérieur à 0,2 et inférieur à 0,5.
c) supérieur à 0,09 et inférieur à 0,2.
d) supérieur à 0,07 et inférieur à 0,09.
e) inférieur à 0,07.
Résolution: alternative D
si D est la plus grande diagonale et d est la plus petite diagonale, alors:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21 cm\)
En appliquant la formule, nous avons
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{D\fois d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamant}}=882 cm²\)
Comme 1 cm² correspond à \(1\cpoint{10}^{-4} m²\), alors:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 m²\)
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm