LES matrice transposée de la matrice M est la matrice Mt. il s'agit de la quartier général que nous allons obtenir quand on réécrit la matrice M en changeant la position des lignes et des colonnes, transformant la première ligne de M en la première colonne de Mt, la deuxième ligne de M dans la deuxième colonne de Mt, etc.
Si la matrice M a m lignes et non colonnes, sa matrice transposée, c'est-à-dire Mt, aura non lignes et m Colonnes. Il existe des propriétés spécifiques pour la matrice transposée.
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Comment obtient-on la matrice transposée ?
Étant donné une matrice Amxn, on appelle la matrice transposée de A à la matrice Atn x m. Pour trouver la matrice transposée, il suffit de changer la position des lignes et des colonnes de la matrice A. Quelle que soit la première ligne de la matrice A sera la première colonne de la matrice transposée At, la deuxième ligne de la matrice A sera la deuxième colonne de la matrice At, etc.
Algébriquement, soit M = (mje)mxn , la matrice transposée de M est Mt = (mj'ai) n x m.
Exemple:
Trouvez la matrice transposée à partir de la matrice :
La matrice M est une matrice 3x5, donc sa transposition sera 5x3. Pour trouver la matrice transposée, nous allons faire de la première ligne de la matrice M la première colonne de la matrice Mt.
La deuxième ligne de la matrice M sera la deuxième colonne de la matrice transposée :
Enfin, la troisième ligne de la matrice M deviendra la troisième colonne de la matrice M.t:
matrice symétrique
A partir du concept de matrice transposée, il est possible de définir ce qu'est une matrice symétrique. Une matrice est dite symétrique quand il est égal à votre matrice transposée, c'est-à-dire étant donné la matrice M, M = Mt.
Pour que cela se produise, la matrice doit être carrée, ce qui signifie que pour que la matrice soit symétrique, le nombre de lignes doit être égal au nombre de colonnes.
Exemple:
Quand on analyse les termes au-dessus de la diagonale principale et les termes au-dessous de la diagonale principale de la matrice S, il est possible de voir qu'il existe des termes qui ce sont les mêmes, ce qui la fait dite symétrique justement à cause de la symétrie de la matrice par rapport à la diagonale principale.
Si nous trouvons la transposée de la matrice S, il est possible de voir que St est égal à S.
Comme S = St, cette matrice est une symétrique.
Voir aussi: Comment résoudre des systèmes linéaires ?
Propriétés de la matrice transposée
1ère propriété : la transposée d'une matrice transposée est égale à la matrice elle-même :
(Mt)t = M
2ème propriété: la transposée de la somme entre les matrices est égale à la somme de la transposée de chacune des matrices :
(M + N)t = Mt + Nt
3ème propriété: la transposition de multiplication entre deux matrices est égal à la multiplication du transposé de chacune des matrices :
(M · N)t = Mt · Nt
4ème propriété: O déterminant de la matrice est égal au déterminant de la matrice transposée :
det (M) = det (Mt)
5ème propriété : la matrice transpose fois la constante est égale à la matrice transpose fois la constante :
(kA)t = kAt
Matrice inverse
Le concept de matrice inverse est assez différent du concept de matrice transposée, et il est important de souligner la différence entre eux. La matrice inverse d'une matrice M est la matrice M-1, où le produit entre les matrices M et M-1 est égal à la matrice identité.
Exemple:
Pour en savoir plus sur ce type de matrice, lisez notre texte: Matrice inverse.
matrice opposée
Étant un autre cas de matrice spéciale, la matrice opposée à la matrice M est la matrice -M. Nous savons que la matrice opposée de M = (mje) la matrice -M = (-mje). La matrice opposée est composée des termes opposés de la matrice M.
exercices résolus
Question 1 - (Cesgranrio) Considérons les matrices :
On note At la matrice transposée de A. La matrice (AtA) - (B+Bt) é:
Résolution
Variante C
On trouvera d'abord la matrice At et matrice Bt:
Donc, nous devons :
Calculons maintenant B + Bt:
Enfin nous calculerons la différence entre A· At et B + Bt:
Question 2 - (Cotec – adapté) Soit des matrices A et B multipliant A · Bt, on a:
Résolution
Variante C
On trouvera d'abord la matrice transposée de B :
Le produit entre les matrices A et Bt c'est la même chose que :
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm