O écart-type est une mesure de la dispersion, tout comme la variance et le coefficient de variation. Lors de la détermination de l'écart type, nous pouvons établir une plage autour de la moyenne arithmétique (division entre la somme des nombres d'une liste et le nombre de nombres ajoutés) où la plupart des données sont concentrées. Plus la valeur de l'écart type est grande, plus la variabilité des données est grande, c'est-à-dire plus l'écart par rapport à la moyenne arithmétique est grand.
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Résumé de l'écart type
- L'écart type est une mesure de la variabilité.
- La notation de l'écart type est la lettre grecque minuscule sigma (σ) ou la lettre s.
- L'écart type est utilisé pour vérifier la variabilité des données autour de la moyenne.
- L'écart type détermine une plage \(\gauche[\mu-\sigma,\mu+\sigma\droite]\), où se trouvent la plupart des données.
- Pour calculer l'écart type, il faut trouver la racine carrée de la variance :
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Qu'est-ce que l'écart type?
L'écart type est un mesure de dispersion adoptée dans Statistics. Son utilisation est liée à interprétation de la variance, qui est aussi une mesure de dispersion.
En pratique, l'écart-type détermine un intervalle, centré sur la moyenne arithmétique, dans lequel la plupart des données sont concentrées. Ainsi, plus la valeur de l'écart-type est élevée, plus l'irrégularité des données est importante (plus d'informations hétérogène), et plus la valeur de l'écart-type est faible, plus l'irrégularité des données est faible (plus d'informations homogène).
Comment calculer l'écart type ?
Pour calculer l'écart type d'un ensemble de données, il faut trouver la racine carrée de la variance. Ainsi, la formule de calcul de l'écart type est
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → données concernées.
- μ → moyenne arithmétique des données.
- N → quantité de données.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right) )^2+\gauche (x_3-\mu\droite)^2+...+\gauche (x_N-\mu\droite)^2 \)
Le dernier élément, qui fait référence au numérateur du radicande, indique la somme des carrés de la différence entre chaque point de données et la moyenne arithmétique. veuillez noter que l'unité de mesure de l'écart type est la même unité de mesure que les données X1,X2,X3,…,XNon.
Bien que l'écriture de cette formule soit un peu complexe, son application est plus simple et plus directe. Vous trouverez ci-dessous un exemple d'utilisation de cette expression pour calculer l'écart type.
- Exemple:
Pendant deux semaines, les températures suivantes ont été enregistrées dans une ville :
Jour de la semaine |
Dimanche |
Deuxième |
Troisième |
Quatrième |
Cinquième |
Vendredi |
Samedi |
Semaine 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31.5°C |
28°C |
28.5°C |
29°C |
semaine 2 |
28.5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
Au cours de laquelle des deux semaines la température est-elle restée la plus régulière dans cette ville ?
Résolution:
Pour analyser la régularité des températures, il faut comparer les écarts-types des températures relevées aux semaines 1 et 2.
- Regardons d'abord l'écart type pour la semaine 1 :
A noter que la moyenne μ1 C'est Non1 ils sont
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)
\(N_1=7 \) (7 jours par semaine)
De plus, nous devons calculer le carré de la différence entre chaque température et la température moyenne.
\(\gauche (29-29.57\droite)^2=0.3249\)
\(\gauche (30-29.57\droite)^2=0.1849\)
\(\gauche (31-29.57\droite)^2=2.0449\)
\(\gauche (31,5-29,57\droite)^2=3,7249\)
\(\gauche (28-29.57\droite)^2=2.4649\)
\(\gauche (28,5-29,57\droite)^2=1,1449\)
\(\gauche (29-29.57\droite)^2=0.3249\)
En ajoutant les résultats, nous avons que le numérateur du radicande dans la formule d'écart type est
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Donc l'écart type de la semaine 1 est
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \environ 1,208\ °C\)
Remarque: Ce résultat signifie que la plupart des températures de la semaine 1 sont dans l'intervalle [28,36 °C, 30,77 °C], c'est-à-dire l'intervalle \(\gauche[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\droite]\).
- Regardons maintenant l'écart type de la semaine 2 :
Suivant le même raisonnement, nous avons
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\gauche (28,5-28,5\droite)^2=0\)
\(\gauche (27-28,5\droite)^2=2,25\)
\(\gauche (28-28,5\droite)^2=0,25\)
\(\gauche (29-28,5\droite)^2=0,25\)
\(\gauche (30-28,5\droite)^2=2,25\)
\(\gauche (28-28,5\droite)^2=0,25\)
\(\gauche (29-28,5\droite)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Donc l'écart type de la semaine 2 est
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \environ 0,89\ °C\)
Ce résultat signifie que la plupart des températures de la semaine 2 se situent dans la plage \(\gauche[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\droite]\), c'est-à-dire la gamme \(\gauche[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\droite]\).
réaliser que \(\sigma_2, c'est-à-dire que l'écart type de la semaine 2 est inférieur à l'écart type de la semaine 1. Par conséquent, la semaine 2 a présenté des températures plus régulières que la semaine 1.
Quels sont les types d'écart type ?
Les types d'écart type sont liés au type d'organisation des données. Dans l'exemple précédent, nous avons travaillé avec l'écart-type de données non groupées. Pour calculer l'écart type d'un ensemble de données autrement organisées (données groupées, par exemple), vous devez ajuster la formule.
Quelles sont les différences entre l'écart type et la variance ?
l'écart type est la racine carrée de l'écart :
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Lorsque vous utilisez la variance pour déterminer la variabilité d'un ensemble de données, le résultat a l'unité de données au carré, ce qui rend son analyse difficile. Ainsi, l'écart type, qui a la même unité que les données, est un outil possible pour interpréter le résultat de la variance.
Savoir plus:Fréquence absolue - le nombre de fois où la même réponse est apparue lors de la collecte de données
Exercices résolus sur l'écart type
question 1
(FGV) Dans une classe de 10 élèves, les notes des élèves à une évaluation étaient :
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
L'écart type de cette liste est d'environ
A) 0,8.
B) 0,9.
C) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Résolution:
Variante C.
Selon le communiqué, N = 10. La moyenne de cette liste est
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
En outre,
\(\gauche (6-8\droite)^2=4\)
\(\gauche (7-8\droite)^2=1\)
\(\gauche (8-8\droite)^2=0\)
\(\gauche (9-8\droite)^2=1\)
\(\gauche (10-8\droite)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
L'écart type de cette liste est donc
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\environ1.1\)
question 2
Examinez les énoncés ci-dessous et évaluez chacun d'eux comme V (vrai) ou F (faux).
je. La racine carrée de la variance est l'écart type.
II. L'écart type n'a aucune relation avec la moyenne arithmétique.
III. La variance et l'écart type sont des exemples de mesures de dispersion.
L'ordre correct, de haut en bas, est
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Résolution:
E alternative.
je. La racine carrée de la variance est l'écart type. (vrai)
II. L'écart type n'a aucune relation avec la moyenne arithmétique. (FAUX)
L'écart type indique un intervalle autour de la moyenne arithmétique dans lequel se situent la plupart des données.
III. La variance et l'écart type sont des exemples de mesures de dispersion. (vrai)
Par Maria Luiza Alves Rizzo
Prof de maths
Source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm