Une des techniques utilisées pour résoudre équations du second degré est la méthode dite carrés complets. Cette méthode consiste à interpréter les équation de deuxièmedegré comme un trinôme carré parfait et écris ta forme factorisée. Parfois, cette procédure simple révèle déjà les racines de l'équation.
Par conséquent, il est nécessaire d'avoir des connaissances de base sur produits remarquables, trinômecarréParfait et factorisation polynomiale d'utiliser cette technique. Souvent, cependant, il permet de faire des calculs « en tête ».
On rappellera donc les trois cas de des produitsremarquable avant de démontrer la méthodecomplétercarrés, qui, à son tour, sera exposé dans trois cas différents.
Des produits exceptionnels et des trinômes carrés parfaits
Ensuite, voyez le produit remarquable, le trinômecarréParfait qui lui est équivalent et la forme factorisé de ce trinôme, respectivement. Pour ce faire, considérons que x est inconnu et le est un nombre réel.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x-k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k)(x - k)
L'équation du second degré se référant au troisième produitremarquable, connu sous le nom de produit de la somme et de la différence, peut être résolu en utilisant une technique qui rend les calculs encore plus faciles. Par conséquent, il ne sera pas pris en compte ici.
L'équation est le trinôme carré parfait
Si un équation de deuxièmedegré est un trinôme carré parfait, alors vous pouvez identifier ses coefficients comme: a = 1, b = 2k ou alors – 2k et c = k2. Pour vérifier cela, il suffit de comparer une équation quadratique avec un trinômecarréParfait.
Par conséquent, dans la solution du équation de deuxièmedegré X2 + 2kx + k2 = 0, on aura toujours la possibilité de faire :
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
Ainsi, la solution est unique et égale à –k.
Si équation être x2 – 2kx + k2 = 0, on peut faire de même :
X2 – 2kx + k2 = 0
(x-k)2 = 0
[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x-k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
La solution est donc unique et égale à k.
Exemple: Quelles sont les racines de équation X2 + 16x + 64 = 0 ?
Notez que l'équation est une trinômecarréParfait, puisque 2k = 16, où k = 8, et k2 = 64, où k = 8. On peut donc écrire :
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Ici, le résultat a été simplifié, car nous savons déjà que les deux solutions seront égales au même nombre réel.
L'équation n'est pas un trinôme carré parfait
Dans les cas où le équation de deuxièmedegré n'est pas un trinôme carré parfait, on peut considérer l'hypothèse suivante pour calculer ses résultats :
X2 + 2kx + C = 0
Notez que pour que cette équation se transforme en un trinômecarréParfait, remplacez simplement la valeur de C par la valeur de k2. Comme il s'agit d'une équation, la seule façon de le faire est d'ajouter k2 sur les deux membres, puis en échangeant le coefficient de membre C. Regarder:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
Après cette procédure, nous pouvons procéder avec la technique précédente, en transformant le trinômecarréParfait en produit remarquable et en calculant les racines carrées sur les deux membres.
X2 + 2kx + k2 = k2 - Ç
(x + k)2 = k2 - Ç
[(x + k)2] = (k2 - Ç)
x + k = ± (k2 - Ç)
Le signe ± apparaît chaque fois que le résultat d'un équation est une racine carrée, car dans ces cas, le résultat de la racine carrée est un module, comme le montre le premier exemple. Enfin, il ne reste plus qu'à faire :
x = – k ± (k2 - Ç)
Alors, ces équations avoir deux résultats réel et distinct, ou pas de résultat réel lorsque C > k2.
Par example, calculer les racines de x2 + 6x + 8 = 0.
Solution: Notez que 6 = 2,3x. Donc, k = 3 et donc k2 = 9. Par conséquent, le nombre que nous devons additionner dans les deux membres est égal à 9 :
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
Auquel cas le coefficient a 1
lorsque le coefficient le, donne équation de deuxièmedegré, est différent de 1, il suffit de diviser toute l'équation par la valeur numérique du coefficient le pour ensuite appliquer l'une des deux méthodes précédentes.
Donc, dans l'équation 2x2 + 32x + 128 = 0, nous avons la racine unique égale à 8, car :
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
Et, dans l'équation 3x2 + 18x + 24 = 0, on a les racines – 2 et – 4, car :
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm