LA Le théorème de la bissectrice interne a été développé spécifiquement pour Triangles et montre que lorsque nous traçons la bissectrice interne d'un angle du triangle, le point de rencontre de la bissectrice avec le côté opposé divise ce côté en segments de ligne proportionnelle aux côtés adjacents de cet angle. Avec l'application du théorème de la bissectrice interne il est possible de déterminer la valeur du côté ou des segments du triangle en utilisant la proportion entre eux.
Voir aussi: Médiane, bissectrice et hauteur d'un triangle, quelle est la différence ?
Résumé sur le théorème de la bissectrice interne :
La bissectrice est une rayon qui divise l'angle en deux angles congrus.
Le théorème de la bissectrice interne est spécifique aux triangles.
Ce théorème prouve que la bissectrice divise le côté opposé en segments proportionnels sur les côtés adjacents à angle.
Leçon vidéo sur le théorème de la bissectrice interne
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Qu'est-ce que le théorème de la bissectrice ?
Avant de comprendre ce que dit le théorème de la bissectrice intérieure, il est important de savoir ce qui est bissectrice d'un angle. C'est un rayon qui divise l'angle en deux parties congruentes., c'est-à-dire deux parties qui ont la même mesure.
En comprenant ce qu'est la bissectrice, nous remarquons qu'elle existe à l'angle intérieur d'un triangle. Lorsque nous délimitons la bissectrice d'un angle du triangle, elle divisera le côté opposé en deux segments. Concernant la bissectrice interne, son théorème dit que les deux segments qu'il divise sont proportionnels aux côtés adjacents de l'angle.
Notez que la bissectrice divise le côté AC en deux segments, AD et DC. Le théorème de la bissectrice montre que:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Savoir plus: Théorème de Pythagore - un autre théorème développé pour les triangles
Preuve du théorème de la bissectrice interne
Dans le triangle ABC ci-dessous, nous délimiterons le segment BD, qui est la bissectrice de ce triangle. De plus, on tracera le prolongement de son côté CB et du segment AE, parallèle à BD :
L'angle AEB est congru à l'angle DBC, parce que CE est un droit transversale aux segments parallèles AE et BD.
appliquer la Théorème de Thales, nous avons conclu que :
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Maintenant nous il reste à montrer que BE = AB.
Puisque x est la mesure de l'angle ABD et DBC, en analysant l'angle ABE, on obtient :
ABE = 180 - 2x
Si y est la mesure de l'angle EAB, on a la situation suivante :
Nous savons que le somme des angles intérieurs du triangle ABE est de 180°, nous pouvons donc calculer :
180 - 2x + x + y = 180
–x + y = 180 – 180
–x + y = 0
y = x
Si l'angle x et l'angle y ont même mesure, le triangle ABE est isocèle. Par conséquent, le côté AB = AE.
Comme la somme des angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à 180°, dans le triangle ACE on a :
x + 180 - 2x + y = 180
–x + y = 180 – 180
–x + y = 0
y = x
Puisque y = x, le triangle ACE est isocèle. Par conséquent, les segments AE et AC sont congruents. Échange AE pour AC dans raison, on prouve que :
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Exemple:
Trouver la valeur de x dans le triangle suivant :
En analysant le triangle, on obtient le rapport suivant :
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Multiplication croisée :
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
A lire aussi: Points notables d'un triangle - Quels sont-ils?
Exercices résolus sur le théorème de la bissectrice interne
question 1
En regardant le triangle ci-dessous, on peut dire que la valeur de x est :
un) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Résolution:
Variante D
En appliquant le théorème de la bissectrice interne, on obtient le calcul suivant :
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Multiplication croisée :
\(27x=18\ \gauche (30-x\droite)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
question 2
Analysez le triangle suivant, sachant que vos mesures ont été données en centimètres.
Le périmètre du triangle ABC est égal à :
A) 75cm
B) 56cm
C) 48cm
D) 24cm
E) 7,5cm
Résolution:
Variante C
En appliquant le théorème de la bissectrice, nous allons d'abord trouver la valeur de x :
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
Ainsi, les côtés inconnus mesurent :
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Rappelant que le longueur de la jauge utilisé était le cm, le périmètre de ce triangle est égal à :
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
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OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Théorème de la bissectrice intérieure"; École du Brésil. Disponible en: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. Consulté le 04 avril 2022.
