Hexagone C'est le polygone qui a 6 côtés. Il est régulier lorsque tous les côtés et angles intérieurs sont congrus les uns avec les autres. Il est irrégulier lorsqu'il ne possède pas ces caractéristiques. Le premier cas est le plus étudié, car lorsque l'hexagone est régulier, il possède des propriétés et des formules spécifiques qui permettent de calculer son aire, son périmètre et son apothème.
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Résumé sur l'hexagone
L'hexagone est un polygone à 6 côtés.
Elle est régulière lorsque tous les côtés sont congrus.
Il est irrégulier lorsque tous les côtés ne sont pas congrus.
Dans un hexagone régulier, chaque angle intérieur mesure 120°.
La somme de angles bords extérieurs d'un hexagone régulier est toujours de 360°.
Pour calculer l'aire d'un hexagone régulier, on utilise la formule :
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O périmètre d'un hexagone est la somme de ses côtés. Quand c'est régulier, on a :
P = 6L
L'apothème d'un hexagone régulier se calcule par la formule :
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
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Qu'est-ce que l'hexagone ?
L'hexagone est un polygone qui a 6 côtés, donc 6 sommets et 6 angles. Comme il s'agit d'un polygone, il s'agit d'une figure plate fermée dont les côtés ne se coupent pas. L'hexagone est une forme récurrente dans la nature, comme dans les nids d'abeilles, dans les structures de la chimie organique, dans les carapaces de certaines tortues et dans les flocons de neige.
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éléments hexagonaux
Un hexagone est composé de 6 côtés, 6 sommets et 6 angles intérieurs.
Sommets : points A, B, C, D, E, F.
côtés: les tranches \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Angles internes : angles a, b, c, d, f.
Classement des hexagones
Les hexagones, comme les autres polygones, peuvent être classés de deux manières.
hexagone régulier
L'hexagone est régulier lorsqu'il a tous ses côtés congruents — par conséquent, leurs angles seront également congruents. L'hexagone régulier est le plus important de tous, étant le plus largement étudié. Il est possible de calculer plusieurs de ses aspects, comme la superficie, avec des formules spécifiques.
Observation: L'hexagone régulier peut être divisé en 6 triangles équilatéraux, c'est-à-dire des triangles dont tous les côtés sont égaux.
→ hexagone irrégulier
L'hexagone irrégulier est celui qui a côtés avec différentes mesures. Il peut être convexe ou non convexe.
hexagone irrégulier convexe
l'hexagone est convexe quand tu as tout le angles intérieurs inférieurs à 180°.
→ Hexagone irrégulier non convexe
Un hexagone est non convexe lorsqu'il a angles intérieurs supérieurs à 180°.
propriétés de l'hexagone
→ Nombre de diagonales dans un hexagone
La première propriété importante est que dans un hexagone convexe, il y a toujours 9 diagonales. On peut retrouver géométriquement ces 9 diagonales :
On peut aussi trouver les diagonales algébriquement, en utilisant la formule suivante :
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Si nous remplaçons 6 dans l'équation, nous avons :
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(j=9\)
Ainsi, un hexagone convexe aura toujours 9 diagonales.
Savoir plus: Diagonale de bloc rectangulaire - segment reliant deux de ses sommets qui ne sont pas sur la même face
→ Angles intérieurs d'un hexagone
Dans un hexagone, le la somme de ses angles intérieurs est de 720°. Pour effectuer cette somme, il suffit de substituer 6 dans la formule :
\(S_i=180\gauche (n-2\droite)\)
\(S_i=180\gauche (6-2\droite)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Dans un hexagone régulier, les angles intérieurs mesureront toujours 120° chacun, car
720°: 6 = 120°
→ Angles extérieurs d'un hexagone régulier
Quant aux angles extérieurs, on sait que le Leur somme est toujours égale à 360°. Puisqu'il y a 6 angles extérieurs, chacun d'eux mesurera 60°, comme
360°: 6 = 60°
→ Apothème hexagonal régulier
Un apothème d'un polygone régulier est considéré commesegment de ligne reliant le centre du polygone au milieu de votre côté. Comme on le sait, l'hexagone régulier est composé de 6 triangles équilatéraux, donc l'apothème correspond à la hauteur d'un de ces triangles équilatéraux. La valeur de ce segment peut être calculée par la formule :
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ périmètre de l'hexagone
Pour calculer le périmètre d'un hexagone, il suffit d'effectuer la somme de ses 6 côtés. Lorsque l'hexagone est régulier, ses côtés sont congrus, il est donc possible de calculer le périmètre de l'hexagone à l'aide de la formule :
P = 6L
→ surface hexagonale régulière
Comme on sait que l'hexagone régulier est composé de 6 triangles équilatéraux dont les côtés mesurent L, il est possible d'en déduire une formule pour le calcul de son aire, à partir du calcul de la zone d'un Triangle équilatéral multiplié par 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
A noter qu'il est possible de simplification division par 2, générant la formule de calcul de l'aire de l'hexagone:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Hexagone inscrit dans un cercle
On dit qu'un polygone est inscrit dans un circonférence quand il est à l'intérieur du cercle, et ses sommets sont des points de ce. On peut représenter l'hexagone régulier inscrit dans un cercle. Quand on fait cette représentation, il est possible de vérifier que la longueur du rayon du cercle est égale à la longueur du côté de l'hexagone.
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Hexagone circonscrit à un cercle
On dit qu'un polygone est circonscrit à un cercle lorsque la circonférence est à l'intérieur de ce polygone. On peut représenter l'hexagone régulier circonscrit. Dans ce cas, le cercle est tangent au milieu de chaque côté de l'hexagone, ce qui rend le rayon du cercle égal à l'apothème de l'hexagone.
prisme à base hexagonale
LA Géométrie plane est la base des études de Géométrie spatiale. O l'hexagone peut être présent à la base des solides géométriques, comme dans les prismes.
Pour trouver le volume d'un prisme, nous calculons le produit de l'aire de la base et de la hauteur. Comme sa base est un hexagone, son le volume peut être calculé par :
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
A lire aussi: Volume des solides géométriques — comment calculer ?
Pyramide à base hexagonale
En plus du prisme hexagonal, il y a aussi les pyramides base hexagonale.
pour découvrir le volume d'une pyramide de base hexagonale, on calcule le produit de l'aire de la base, la hauteur et on divise par 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Notez que nous multiplions et divisons par trois, ce qui permet d'obtenir un simplification. Ainsi, le volume d'une pyramide à base hexagonale est calculé par la formule :
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Exercices résolus sur l'hexagone
question 1
Un terrain a la forme d'un hexagone régulier. Vous voulez entourer cette zone de fil de fer barbelé, de sorte que le fil fasse 3 fois le tour du territoire. Sachant qu'en tout, 810 mètres de fil ont été dépensés pour clôturer l'ensemble du terrain, la superficie de cet hexagone mesure, environ :
(Utiliser \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Résolution:
Variante B
Le périmètre de l'hexagone régulier est
\(P=6L\)
Comme 3 tours ont été effectués, un total de 270 mètres a été dépensé pour boucler un seul tour, comme nous le savons :
810: 3 = 270
Donc nous avons:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ mètres\)
Connaissant la longueur du côté, nous calculerons l'aire:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163.75m^2\)
En arrondissant, on obtient :
\(A\environ5164m^2\)
question 2
(PUC - RS) Pour un engrenage mécanique, vous souhaitez réaliser une pièce de forme hexagonale régulière. La distance entre les côtés parallèles est de 1 cm, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Le côté de cet hexagone mesure ______ cm.
LA) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
RÉ) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Résolution:
Variante B
Concernant l'hexagone régulier, on sait que son apothème est la mesure du centre au milieu d'un des côtés. Ainsi, l'apothème est la moitié de la distance indiquée dans l'image. Donc, nous devons :
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
L'apothème est alors égal à \(\frac{1}{2}\). Il existe une relation entre les côtés de l'hexagone et l'apothème, car dans un hexagone régulier, on a :
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Puisque nous connaissons la valeur de l'apothème, nous pouvons substituer \(a=\frac{1}{2}\) dans l'équation :
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Rationalisation de la fraction :
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Par Raúl Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
