La factorisation de polynômes consiste en des méthodes développées pour réécrire un polynôme comme un produit entre polynômes. Écris le polynôme sous la forme multiplication entre deux ou plusieurs facteurs aide à simplifier les expressions algébriques et à comprendre un polynôme.
Il existe différents cas d'affacturage, et pour chacun d'eux il existe des techniques spécifiques.. Les cas existants sont: factorisation par facteur commun en évidence, factorisation par groupement, différence entre deux carrés, trinôme carré parfait, somme de deux cubes et différence de deux cubes.
Lire la suite:Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Résumé sur la factorisation des polynômes
La factorisation de polynômes est une technique utilisée pour représenter le polynôme comme un produit entre polynômes.
Nous utilisons cette factorisation pour simplifier expressions algébriques.
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Les cas d'affacturage sont :
Affacturage par facteur commun de preuve;
Affacturage par regroupement;
trinôme carré parfait;
différence de deux carrés;
somme de deux cubes;
Différence de deux cubes.
Cas de factorisation polynomiale
Pour factoriser un polynôme, il est nécessaire d'analyser dans quel cas d'affacturage la situation s'adapte, soit: factorisation par facteur commun en évidence, factorisation par groupement, différence entre deux carrés, trinôme carré parfait, somme de deux cubes et différence de deux cubes. Voyons comment effectuer la factorisation dans chacun d'eux.
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Facteur commun en preuve
Nous utilisons cette méthode de factorisation lorsqu'il existe un facteur commun à tous les termes du polynôme. Ce facteur commun sera mis en évidence comme un facteur, et l'autre facteur, le résultat de la division des termes par ce facteur commun, sera placé entre parenthèses.
Exemple 1:
20xy + 12x² + 8xy²
En analysant chaque terme de ce polynôme, il est possible de voir que x se répète dans tous les termes. De plus, tous les coefficients (20, 12 et 8) sont des multiples de 4, donc le facteur commun à tous les termes est 4x.
En divisant chaque terme par le facteur commun, on a :
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Maintenant, nous allons écrire la factorisation mettant en évidence le facteur commun et le somme des résultats trouvés entre parenthèses :
4x (5 ans + 3x + 2 ans²)
Exemple 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
En analysant la partie littérale de chaque terme, il est possible de voir que a²b se répète dans chacun d'eux. Notez qu'il n'y a pas de nombre qui divise 2, 3 et – 4 en même temps. Donc le facteur commun sera juste a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4e5b³: a²b = 4a³
Ainsi, la factorisation de ce polynôme sera :
a²b (2b + 3a + 4a³)
Voir aussi: Addition, soustraction et multiplication de polynômes — comprendre comment ils sont faits
regroupement
Cette méthode est utilisé lorsqu'il n'y a pas de facteur commun pour tous les termes du polynôme. Dans ce cas, nous identifions les termes qui peuvent être regroupés ayant un facteur commun et les mettons en évidence.
Exemple:
Factoriser le polynôme suivant :
hache + 4b + bx + 4a
On regroupera les termes qui ont a et b comme facteur commun :
hache + 4a + bx + 4b
En mettant a et b en évidence en termes de deux par deux, on a :
a(x+4)+b(x+4)
Notez qu'à l'intérieur des parenthèses, les facteurs sont les mêmes, nous pouvons donc réécrire ce polynôme sous la forme :
(a + b) (x + 4)
trinôme carré parfait
Les trinômes sont des polynômes à 3 termes. Un polynôme est appelé trinôme carré parfait lorsqu'il est résultat de la somme au carré ou de la différence au carré, C'est:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Important: Pas à chaque fois qu'il y a trois termes, ce polynôme sera un trinôme carré parfait. Par conséquent, avant d'effectuer la factorisation, il faut vérifier si le trinôme convient dans ce cas.
Exemple:
Factoriser, si possible, le polynôme
x² + 10x + 25
Après avoir analysé ce trinôme, nous extrairons le racine carrée premier et dernier terme :
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Il est important de vérifier que le terme central, c'est-à-dire 10x, est égal à \(2\cdot\ x\cdot5\). A noter qu'il s'agit bien de la même chose. C'est donc un trinôme carré parfait, qui peut être factorisé par :
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
différence de deux carrés
Quand on a une différence de deux carrés, on peut factoriser ce polynôme en le réécrivant comme le produit de la somme et de la différence.
Exemple:
Factoriser le polynôme :
4x² – 36y²
Dans un premier temps, nous allons calculer la racine carrée de chacun de ses termes :
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Maintenant, nous allons réécrire ce polynôme comme le produit de la somme et de la différence des racines trouvées :
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
A lire aussi: Calcul algébrique impliquant des monômes - apprenez comment les quatre opérations se produisent
somme de deux cubes
La somme de deux cubes, c'est-à-dire a³ + b³, peut être pris en compte comme:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Exemple:
Factoriser le polynôme :
x³ + 8
On sait que 8 = 2³, donc :
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Différence de deux cubes
La différence de deux cubes, c'est-à-dire a³ – b³, semblable à la somme de deux cubes, peut être factorisé comme:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Exemple:
Factoriser le polynôme
8x³ - 27
Nous savons que:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Nous devons donc :
\(8x^3-27=\gauche (2x-3\droit)\)
\(8x^3-27=\gauche (2x-3\droite)\gauche (4x^2+6x+9\droite)\)
Exercices résolus sur la factorisation des polynômes
question 1
Utilisation de la factorisation polynomiale pour simplifier l'expression algébrique \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), nous allons trouver:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
RÉ) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Résolution:
Variante D
En regardant le numérateur, nous voyons que x² + 4x + 4 est un cas de trinôme carré parfait et peut être réécrit comme :
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Le numérateur x² – 4 est la différence de deux carrés et peut être réécrit comme :
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Donc:
\(\frac{\gauche (x+2\droite)^2}{\gauche (x+2\droite)\gauche (x-2\droite)}\)
Notez que le terme x + 2 apparaît à la fois au numérateur et au dénominateur, donc sa simplification est donnée par :
\(\frac{x+2}{x-2}\)
question 2
(Institut Unifil) Considérant que deux nombres, x et y, sont tels que x + y = 9 et x² – y² = 27, la valeur de x est égale à :
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Résolution:
Variante C
Notez que x² – y² est la différence entre deux carrés et peut être factorisé comme le produit de la somme et de la différence :
x² – y² = (x + y) (x – y)
On sait que x + y = 9 :
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Ensuite, nous pouvons mettre en place un système d'équation:
Ajout des deux lignes :
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
