Rapports trigonométriques: sinus, cosinus et tangente sont des relations entre les côtés d'un triangle rectangle. En utilisant ces rapports, il est possible de déterminer des valeurs inconnues d'angles et de mesures latérales.
Pratiquez vos connaissances avec les problèmes résolus.
questions sur le sinus
question 1
étant l'angle égal à 30° et l'hypoténuse 47 m, calculer la mesure de hauteur Les du triangle.
Le rapport sinus trigonométrique est le quotient entre les mesures du côté opposé de l'angle et l'hypoténuse.
Isoler Les d'une part l'égalité, on a :
D'après une table trigonométrique, nous avons que le sinus de 30° est égal à , en remplaçant dans l'équation :
Par conséquent, la hauteur du triangle est de 23,50 m.
question 2
La vue de dessus d'un parc montre deux chemins pour se rendre au point C à partir du point A. Une des options est d'aller en B, où il y a des fontaines et des lieux de repos, puis en C. Si un visiteur du parc veut aller directement à C, combien de mètres aura-t-il parcouru de moins que la première option ?
Considérez les approximations :
péché 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
bronzage 58° = 1,60
Réponse: en partant de A et en allant tout droit vers C, la marche est plus courte de 7,54 m.
Étape 1: calculer la distance.
Étape 2: déterminer la distance.
Étape 3: déterminer la distance .
Étape 4: Déterminez la différence entre les deux chemins.
question 3
Un téléphérique a été installé reliant une base au sommet d'une montagne. Pour l'installation, 1358 m de câbles ont été utilisés, disposés à un angle de 30° par rapport au sol. Quelle est la hauteur de la montagne ?
Bonne réponse: la hauteur de la montagne est de 679 m.
Nous pouvons utiliser le rapport trigonométrique sinus pour déterminer la hauteur de la montagne.
D'après une table trigonométrique, nous avons sin 30° = 0,5. Comme le sinus est le rapport entre le côté opposé et l'hypoténuse, nous déterminons la hauteur.
question 4
(CBM-SC, soldat-2010) Pour aider une personne dans un appartement lors d'un incendie, les pompiers utilisera une échelle de 30 m, qui sera placée comme indiqué sur la figure ci-dessous, formant un angle avec le sol du 60e. A quelle distance se trouve l'appartement du sol? (Utilisez sen60º=0,87; cos60º=0,5 et tg60º= 1,73)
a) 15 mètres.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Bonne réponse: b) 26,1 m.
Pour déterminer la hauteur, nous utiliserons le sinus de 60°. Appeler la hauteur h et utiliser un sinus à 60° égal à 0,87.
Questions sur le cosinus
question 5
Le cosinus est le rapport entre le côté adjacent à un angle et la mesure de l'hypoténuse. Étant égal à 45°, calculez la mesure de la jambe adjacente à l'angle alpha, dans le triangle de la figure.
envisager
Approximation de la valeur de la racine carrée de 2:
La mesure de la jambe adjacente est d'environ 19,74 m.
question 6
Lors d'un match de football, le joueur 1 lance vers le joueur 2 à un angle de 48°. Quelle distance le ballon doit-il parcourir pour atteindre le joueur 2 ?
Envisager:
péché 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
bronzage 48° = 1,11
Bonne réponse: La balle doit parcourir une distance de 54,54 m.
La mesure entre le joueur 1 et le joueur 2 est l'hypoténuse du triangle rectangle.
Le cosinus de l'angle de 48° est le rapport de son côté adjacent à l'hypoténuse, où le côté adjacent est la distance entre le milieu de terrain et la grande surface.
52,5 - 16,5 = 36 mètres
Calcul du cosinus, où h est l'hypoténuse.
question 7
Un toit est considéré comme un pignon lorsqu'il y a deux versants. Dans un ouvrage, un toit est en train d'être construit là où la rencontre de ses deux eaux se fait exactement au milieu de la dalle. L'angle d'inclinaison de chaque eau par rapport à la dalle est de 30°. La dalle mesure 24 m de long. Pour commander les tuiles avant même que la structure qui supportera la toiture ne soit terminée, il faut connaître la longueur de chaque eau, qui sera :
Comme la dalle mesure 24 m de long, chaque plan d'eau fera 12 m.
Appelant la longueur de chaque eau de toit L, on a :
Rationaliser la fraction pour obtenir le nombre irrationnel du dénominateur.
Fabrication,
Par conséquent, la longueur de chaque eau de toit sera d'environ 13,6 m.
question 8
La tangente est le rapport entre le côté opposé à un angle et son côté adjacent. étant l'angle égale à 60°, calculez la hauteur du triangle.
Questions tangentes
question 9
Une personne veut connaître la largeur d'une rivière avant de la traverser. Pour cela, il fixe un point de référence sur l'autre arête, comme un arbre par exemple (point C). Dans la position où vous vous trouvez (point B), marchez 10 mètres vers la gauche, jusqu'à ce qu'un angle de 30° se forme entre le point A et le point C. Calculer la largeur de la rivière.
envisager .
Pour calculer la largeur de la rivière que nous appellerons L, nous utiliserons la tangente de l'angle .
question 10
(Enem 2020) Pergolado est le nom donné à un type de toit conçu par des architectes, généralement en carrés et
jardins, pour créer un environnement pour les personnes ou les plantes, dans lequel il y a une baisse de la quantité de lumière,
selon la position du soleil. Il est fait comme une palette de poutres égales, placées parallèlement et parfaitement
d'affilée, comme le montre la figure.
Un architecte conçoit une pergola avec des portées de 30 cm entre ses poutres, de sorte que, dans le
solstice d'été, la trajectoire du soleil au cours de la journée s'effectue dans un plan perpendiculaire à la direction de
faisceaux, et que le soleil de l'après-midi, lorsque ses rayons font 30° avec la position de l'épingle, génèrent la moitié
de la lumière qui passe dans la pergola à midi.
Pour répondre à la proposition de projet préparée par l'architecte, les poutres de la pergola doivent être
construit de telle sorte que la hauteur, en centimètres, soit aussi proche que possible de
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Bonne réponse: c) 26.
Pour comprendre la situation, faisons un schéma.
L'image de gauche montre l'incidence de la lumière du soleil à midi, avec 100%. L'image de gauche est ce qui nous intéresse. Il ne laisse passer que 50% des rayons du soleil à travers la pergola avec une pente de 30%.
Nous utilisons le rapport trigonométrique tangent. La tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent.
Appelant la hauteur de la pièce de pergola h, nous avons :
Faire une tangente de 30° =
Rationalisons la dernière fraction pour ne pas laisser la racine de trois, un nombre irrationnel, au dénominateur.
Fabrication,
Parmi les options disponibles pour la question, la plus proche est la lettre c, la hauteur des poutres doit être d'environ 26cm.
question 11
(Enem 2010) Un ballon atmosphérique, lancé à Bauru (343 kilomètres au nord-ouest de São Paulo), la nuit dimanche dernier, il est tombé ce lundi à Cuiabá Paulista, dans la région Presidente Prudente, effrayant
agriculteurs de la région. L'artefact fait partie du programme Hibiscus Project, développé par le Brésil, la France,
Argentine, Angleterre et Italie, pour mesurer le comportement de la couche d'ozone, et sa descente a eu lieu
après avoir respecté le temps de mesure prévu.
Le jour de l'événement, deux personnes ont vu le ballon. L'un était à 1,8 km de la position verticale du ballon
et l'a vu à un angle de 60°; l'autre était à 5,5 km de la position verticale du ballon, aligné avec le
d'abord, et dans la même direction, comme on le voit sur la figure, et l'a vu sous un angle de 30°.
Quelle est la hauteur approximative du ballon ?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Bonne réponse: c) 3,1 km
On utilise la tangente à 60° qui est égale . La tangente est le rapport trigonométrique entre le côté opposé de l'angle et son côté adjacent.
Par conséquent, la hauteur du ballon était d'environ 3,1 km.