Un équation polynomiale se caractérise par une polynôme égal à zéro. Il peut être caractérisé par le degré du polynôme, et plus ce degré est élevé, plus le degré de difficulté à trouver sa solution ou sa racine est grand.
Il est également important, dans ce contexte, de comprendre quel est le théorème fondamental de l'algèbre, qui stipule que chaque équation polynomiale a au moins une solution complexe, autrement dit: une équation de degré un aura au moins une solution, une équation de degré deux aura au moins deux solutions, et ainsi de suite.
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Qu'est-ce qu'une équation polynomiale
Une équation polynomiale est caractérisée par le fait d'avoir un polynôme égal à zéro, ainsi, toute expression de type P(x) = 0 est une équation polynomiale, où P(x) est un polynôme. Voici le cas général d'une équation polynomiale et quelques exemples.
Prendre en comptenon, unen-1, une n -2, …, Les1, une0 et x nombres réels, et n est un entier positif, l'expression suivante est une équation polynomiale de degré n.
- Exemple
Les équations suivantes sont des polynômes.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - X2 + 4x + 3 = 0
Comme les polynômes, les équations polynomiales ont leur degré. Pour déterminer le degré d'une équation polynomiale, il suffit de trouver la puissance la plus élevée dont le coefficient est différent de zéro. Par conséquent, les équations des items précédents sont respectivement :
a) L'équation vient de quatrième degré :3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) L'équation est de lycée:5X2 – 3 = 0.
c) L'équation vient de premier degré:6X – 1 = 0.
d) L'équation est du troisième degré: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
Comment résoudre une équation polynomiale ?
La méthode de résolution d'une équation polynomiale dépend de son degré. Plus le degré d'une équation est grand, plus il est difficile de la résoudre. Dans cet article, nous allons montrer la méthode de résolution des équations polynomiales de la premier degré, deuxième degré et bicarré.
Équation polynomiale du premier degré
Une équation polynomiale du premier degré est décrite par un polynôme de degré 1. On peut donc écrire une équation du premier degré, en général, comme suit.
Considérons deux nombres réels Les et B avec un 0, l'expression suivante est une équation polynomiale du premier degré :
hache + b = 0
Pour résoudre cette équation, il faut utiliser le principe d'équivalence, c'est-à-dire que tout ce qui est opéré d'un côté de l'égalité doit aussi être opéré de l'autre côté. Pour déterminer la solution d'une équation du premier degré, il faut isoler l'inconnu. Pour cela, la première étape consiste à éliminer les B du côté gauche de l'égalité, puis soustrairerames b des deux côtés de l'égalité.
hache + b -B = 0 -B
hache = - b
Notez que la valeur de l'inconnu x n'est pas isolée, le coefficient a doit être éliminé du côté gauche de l'égalité, et pour cela, divisons les deux côtés par Les.
- Exemple
Résoudre l'équation 5x + 25 = 0.
Pour résoudre le problème, nous devons utiliser le principe d'équivalence. Afin de faciliter le processus, nous omettrons l'écriture de l'opération sur le côté gauche de l'égalité, étant équivalent alors à dire que l'on va « passer » le nombre de l'autre côté, en changeant de signe (opération inverse).
Apprenez-en plus sur la résolution de ce type d'équation en accédant à notre texte: Equation du premier degré avec une inconnue.
Équation polynomiale du deuxième degré
Une équation polynomiale du second degré a la caractéristique d'un polynôme de degré deux. Considérons donc a, b et c des nombres réels avec a 0. Une équation du second degré est donnée par :
hache2 + bx + c = 0
Votre solution peut être déterminée en utilisant la méthode de bhaskara ou par affacturage. Si vous voulez en savoir plus sur les équations de ce type, lisez: Éqaction de sseconde grau.
→ Méthode Bhaskara
En utilisant la méthode de Bhaskara, ses racines sont données par la formule suivante :
- Exemple
Trouver la solution de l'équation x2 – 3x + 2 = 0.
Notez que les coefficients de l'équation sont, respectivement, a = 1, b = – 3 et c = 2. En remplaçant ces valeurs dans la formule, il faut :
→ Factorisation
Voir qu'il est possible de factoriser l'expression x2 – 3x + 2 = 0 en utilisant l'idée de factorisation polynomiale.
X2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Remarquez maintenant que nous avons un produit égal à zéro et qu'un produit est égal à zéro uniquement si l'un des facteurs est égal à zéro, nous devons donc :
x – 2 = 0
x = 2
ou
x - 1 = 0
x = 1
Voyez que nous avons trouvé la solution de l'équation en utilisant deux méthodes différentes.
équation aux deux carrés
LES équation aux deux carrés c'est un cas particulier d'une équation polynomiale du quatrième degré, normalement une équation du quatrième degré s'écrirait sous la forme :
hache4 + bx3 + boîte2 + dx + e = 0
où les nombres a B c d et et sont réels avec un 0. Une équation du quatrième degré est considérée comme bicarrée lorsque les coefficients b = d = 0, c'est-à-dire que l'équation est sous la forme :
hache4 + boîte2 + et = 0
Voir, dans l'exemple ci-dessous, comment résoudre cette équation.
- Exemple
Résoudre l'équation x4 – 10x2 + 9 = 0.
Pour résoudre l'équation, nous allons utiliser le changement inconnu suivant, et chaque fois que l'équation est bicarrée, nous allons faire ce changement.
X2 =p
À partir de l'équation aux deux carrés, notez que x4 = (x2)2 et donc il faut :
X4 – 10x2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
pour2 – 10p + 9 = 0
Voyez que nous avons maintenant une équation polynomiale du second degré et nous pouvons utiliser la méthode de Bhaskara, comme ceci :
Cependant, nous devons nous rappeler qu'au début de l'exercice, un changement inconnu a été effectué, nous devons donc appliquer la valeur trouvée dans la substitution.
X2 =p
Pour p = 9, on a que :
X2 = 9
x' = 3
ou
x’’ = – 3
Pour p = 1
X2 = 1
x' = 1
ou
x’’ = – 1
Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation aux deux carrés est :
S = {3, –3, 1, –1}
A lire aussi: Dispositif pratique de Briot-Ruffini - division des polynômes
Théorème fondamental de l'algèbre (TFA)
Le théorème fondamental de l'algèbre (TFA), prouvé par Gauss en 1799, stipule que chaque équation polynomiale comme suit a au moins une racine complexe.
La racine d'une équation polynomiale est sa solution, c'est-à-dire que la valeur inconnue est ce qui rend l'égalité vraie. Par exemple, une équation du premier degré a une racine déjà déterminée, tout comme une équation du deuxième degré, qui a au moins deux racines, et un bicarré, qui a au moins quatre racines.
exercices résolus
question 1 – Déterminer la valeur de x qui rend l'égalité vraie.
2x – 8 = 3x + 7
Résolution
Notez que pour résoudre l'équation, il est nécessaire de l'organiser, c'est-à-dire de laisser toutes les inconnues du côté gauche de l'égalité.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Par le principe d'équivalence, nous pouvons multiplier les deux côtés de l'égalité par le même nombre, et puisque nous voulons trouver la valeur de x, nous multiplierons les deux côtés par –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
question 2 – Marcos a 20 R$ de plus que João. Ensemble, ils parviennent à acheter deux paires de baskets, au prix de 80 R$ chacune et sans plus d'argent. Combien de reais a John ?
Résolution
Supposons que Mark a x reais, comme John a 20 reais de plus, donc il a x + 20.
Marques → x réels
João → (x + 20) reais
comment ont-ils acheté deux paires de baskets qui coûtent 80 reais chacun, donc si nous rassemblons les parties de chacun, nous devrons :
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Par conséquent, Mark avait 70 reais et João, 90 reais.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
