Le binôme de Newton est un binôme élevé à un nombre non sur quoi non c'est un nombre naturel. Grâce aux études du physicien Isaac Newton sur les pouvoirs des binômes, il était possible vérifier les régularités qui facilitent la représentation du polynôme généré à partir de la puissance d'un binôme.
En observant ces régularités, il est également devenu possible trouver un seul des termes de polynôme, sans avoir à tout calculer, en utilisant la formule du terme général d'un binôme. De plus, Newton a remarqué une relation entre le analyse combinatoirea et les binômes de Newton, ce qui a fait le Le triangle de Pascal un excellent outil pour le développement plus pratique d'un binôme de Newton.
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Définition du binôme de Newton
On définit comme binôme lepolynôme qui a deux termes. Dans certaines applications en mathématiques et en physique, il est nécessaire de calculer les puissances d'un binôme. Pour faciliter le processus,
Isaac Newton a remarqué des régularités importantes qui nous permettent de trouver le polynôme qui résulte de la puissance d'un binôme.
Pour certains cas, le calcul est assez simple: il suffit d'effectuer le multiplication du binôme par lui-même en utilisant la propriété distributive. Jusqu'à une puissance d'ordre 3, nous développons sans trop d'effort, car ce sont les produits remarquables, mais pour des puissances plus élevées, calculez à partir de la multiplication du terme par lui-même non parfois c'est beaucoup de travail.
Exemples
Rappelez-vous que chaque nombre élevé à zéro est égal à 1 et que chaque nombre élevé à 1 est lui-même, ce qui est également vrai pour les binômes.
Newton a remarqué un relation entre les coefficients de chacun des termes et la combinaison, qui permettait de calculer une puissance d'un binôme plus directement à partir de la formule suivante :
Comprendre la formule :
Examinons d'abord la partie littérale de chaque terme, qui est la lettre avec son exposant. Notons que, pour chaque terme, l'exposant de “a" diminuait, en commençant à n, puis en passant à n – 1, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il soit 1 dans l'avant-dernier terme et 0 dans le dernier terme (ce qui fait que la lettre "a" n'apparaît même pas dans le dernier terme).
identifier le et ses exposants :
Analysons maintenant les exposants de "b", qui sont toujours croissants, en commençant par 0 dans le premier terme (le ce qui fait que la lettre b n'apparaît pas dans le premier terme), 1 dans le deuxième terme, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle soit égale le nonau dernier terme.
identifier B et ses exposants :
Comprendre la partie littérale, allons analyser les coefficients, qui sont toutes des combinaisons de non éléments pris de 0 à 0, 1 à 1, 2 à 2, et ainsi de suite jusqu'au dernier terme, qui est la combinaison de non éléments tirés de non dans non.
Il est à noter qu'il est important de maîtriser le calcul de combinaisons pour pouvoir trouver les coefficients. Rappelez-vous, pour calculer des combinaisons, nous devons :
La réponse combinée est toujours un entier naturel.
Voir aussi: Division polynomiale: comment la résoudre ?
Exemple: Calculer le binôme de Newton (a+b) à la puissance quatrième.
1ère étape : écrire le polynôme en utilisant la formule.
2ème étape : calculer les combinaisons.
En remplaçant les combinaisons, le polynôme trouvé sera :
Vous pouvez voir que résoudre des cas comme celui-ci est toujours laborieux, selon l'exposant, mais même ainsi, c'est plus rapide que de calculer en utilisant la propriété distributive. Un outil qui peut aider avec ce calcul est le triangle de Pascal.
Le triangle de Pascal
Le triangle de Pascal a été développé par Blaise Pascal lors de l'étude des combinaisons. Il est un moyen qui facilite le calcul des combinaisons. L'utilisation du triangle de Pascal permet de trouver plus rapidement et plus facilement les coefficients des parties littérales d'un binôme de Newton sans avoir à calculer toutes les combinaisons.
Pour construire directement le triangle de Pascal, retenons deux situations où le calcul de combinaison est égal à 1.
Ainsi, le premier et le dernier terme de toutes les lignes sont toujours égaux à 1. Les termes centraux sont construits à partir de la somme du terme au-dessus plus son voisin de la colonne précédente, comme dans la représentation ci-dessous :
Pour construire les lignes suivantes, rappelez-vous simplement que le premier terme est 1 et le dernier aussi. Ensuite, il suffit de faire les sommes pour découvrir les termes centraux.
Accédez également à: Théorème de décomposition polynomiale
Exemple: Calculez (a+b) à la puissance sixième.
1ère étape : appliquer la formule du binôme.
2ème étape: construire le triangle de Pascal jusqu'à la 6ème ligne.
3ème étape : remplacez les combinaisons par les valeurs de la ligne 6, qui sont les coefficients de chacun des termes du binôme.
Ce qui détermine le nombre de lignes que nous allons construire à partir du binôme est la valeur de n. Il est important de se rappeler que la première ligne est zéro.
Terme général binomial de Newton
Le terme général binomial de Newton est une formule qui nous permet de calculer un terme du binôme sans avoir à développer le polynôme entier, c'est-à-dire que nous pouvons identifier l'un des termes du premier au dernier. Avec la formule, nous calculons directement le terme que nous recherchons.
Le: premier mandat
B : deuxième mandat
n : exposant
p+1: terme de recherche
Exemple: Trouver le 11ème terme du binôme (a + b)12.
Résolution:
Voir aussi: Démonstrations à travers du calcul algébrique
Exercices résolus
Question 1 - (Cesgranrio) Le coefficient de x4 dans le polynôme P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Résolution
Nous voulons trouver un terme spécifique pour résoudre le binôme; pour cela, il faut trouver la valeur de p.
On sait que le premier terme dans ce cas est égal à x, donc n – p = 4, comme n = 6, on a :
Le coefficient est donc de 60 (variante B).
Question 2 - (Unifor) Si le terme central du développement binomial (4x + ky)10 pour 8064x5oui5, alors l'alternative qui correspond à la valeur de k sera :
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Résolution: On sait que le terme central a des coefficients égaux (p= 5). Trouvons le 6ème terme, puisque p+1=6. De plus, nous avons que a = 4x; b = ky et n = 10, donc :
Alternative D.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm