Pour une meilleure compréhension du concept d'inégalités exponentielles, il est important de connaître les concepts d'équations exponentielles, si vous n'avez pas encore étudié ce concept, visitez notre article équation exponentielle.
Pour comprendre les inégalités, il faut savoir quel est le fait principal qui les différencie des équations. Le fait principal concerne le signe d'inégalité et d'égalité, lorsque nous travaillons avec des équations que nous recherchons une valeur qui en vaut une autre, par contre, dans l'inégalité, nous déterminerons des valeurs qui attestent de cette inégalité.
Cependant, les méthodes pour procéder à la résolution sont très similaires, cherchant toujours à déterminer une égalité ou une inégalité avec des éléments de même base numérique.
Le fait crucial dans les expressions algébriques de cette manière est d'avoir cette inégalité avec la même base numérique, car l'inconnue se trouve dans l'exposant et afin de pouvoir relier les exposants des nombres il faut qu'ils soient dans la même base numérique.
Nous verrons quelques manipulations algébriques dans certains exercices qui sont récurrentes dans les résolutions d'exercices impliquant des inégalités exponentielles.
Voir la question suivante :
(PUC-SP) Dans la fonction exponentielle
déterminer les valeurs de x pour lesquelles 1
Nous devons déterminer cette inégalité en obtenant des nombres sur la même base numérique.
Comme nous n'avons plus que des nombres en base numérique 2, nous pouvons écrire cette inégalité par rapport aux exposants.
Il faut déterminer les valeurs qui satisfont les deux inégalités. Faisons d'abord l'inégalité de gauche.
Nous devons trouver les racines de l'équation quadratique x2-4x=0 et comparer la plage de valeurs par rapport à l'inégalité.
Nous devons comparer l'inégalité en trois intervalles (l'intervalle inférieur à x', l'intervalle entre x' et x'', et l'intervalle supérieur à x'').
Pour les valeurs inférieures à x’’, nous aurons :
Par conséquent, les valeurs inférieures à x = 0 satisfont cette inégalité. Regardons les valeurs entre 0 et 4.
Par conséquent, il ne s'agit pas d'une plage valide.
Maintenant des valeurs supérieures à 4.
Donc pour l'inégalité :
La solution est:
Cette résolution d'inégalité peut se faire par l'inégalité du second degré, en obtenant le graphique et en déterminant l'intervalle :
Il faut maintenant déterminer la solution de l'autre inégalité :
Les racines sont les mêmes, il faut juste tester les intervalles. En testant les intervalles, vous obtiendrez l'ensemble de solutions suivant :
Utilisation de la ressource graphique :
Par conséquent, pour résoudre les deux inégalités, nous devons trouver l'intervalle qui satisfait les deux inégalités, c'est-à-dire qu'il suffit de faire l'intersection des deux graphes.
Par conséquent, l'ensemble de solutions pour l'inégalité
é:
C'est-à-dire que ce sont les valeurs qui satisfont l'inégalité exponentielle:
Notez qu'il a fallu plusieurs concepts pour réaliser une seule inégalité, il est donc important de comprendre tous les procédures algébriques pour transformer la base d'un nombre, ainsi que pour trouver la solution des inégalités du premier et du deuxième degré.
Par Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-exponenciais.htm
