Lorsque l'on compare des figures géométriques, il y a quelques conclusions possibles: les figures sont congruentes, c'est-à-dire que leurs côtés et leurs angles ont les mêmes mesures; les figures sont différentes ou les figures sont similaires, c'est-à-dire qu'elles ont des angles correspondants avec des mesures égales et des côtés correspondants avec des mesures proportionnelles.
Un mathématicien nommé Thalès de Milet a observé que il y a proportionnalité entre les droites formées par un faisceau de droites parallèles coupées par des droites transversales. Regardez l'image suivante :
La proportionnalité valable observée par Tales est celle des égalités :
MN = CAR = AU
QR RP MO
Cette importante découverte fut bientôt observée dans les triangles. Lorsqu'un triangle ABC est coupé sur deux de ses côtés, AB et AC, par une ligne r et que cette ligne est parallèle au côté restant, BC, du triangle, alors ces mêmes proportionnalités s'appliquent., puisque le sommet A de ce triangle peut être vu comme un point appartenant à une droite également parallèle à r. Regarder:
Dans ce triangle, les proportionnalités suivantes s'appliquent :
AE = UN F = CE
AB AC FC
Une fois ces proportionnalités observées, et en considérant les triangles AEF et ABC comme des triangles distincts, il suffit de constater que l'angle Le sommet interne A est commun aux deux triangles pour affirmer qu'ils sont similaires, par le cas de similitude Côté – angle – côté (LAL). Plus précisement:
L'angle interne du sommet A est commun aux deux triangles, il est donc le même lorsque l'on compare les deux.
Les côtés AE et AF appartenant au triangle AEF sont proportionnels aux côtés AC et AB appartenant au triangle ABC.
Par conséquent, par le cas LAL de similarité triangulaire, les triangles sont similaires.
En résumé, ayant n'importe quel triangle comme base, vous pouvez arriver à la propriété suivante: Dans un triangle ABC, une droite r coupe les côtés AB et AC aux points E et F de sorte que la droite r est parallèle au côté BC. Les triangles ABC et AEF sont donc similaires.
Cette propriété est devenue connue sous le nom de théorème fondamental de similitude.
Par Luiz Paulo Moreira
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-fundamental-semelhanca.htm