O Le triangle de Pascal c'est un outil mathématique assez ancien. Au cours de l'histoire, il a reçu plusieurs noms, mais les plus adoptés aujourd'hui sont triangle arithmétique et le triangle de Pascal. Le deuxième nom est un hommage au mathématicien qui a apporté plusieurs contributions à l'étude de ce triangle. signifie que le triangle a été inventé par lui, mais c'est lui qui a fait une étude plus approfondie de ce outil.
A partir des propriétés du triangle de Pascal, il est possible de le construire logiquement. Se démarque également votre relation avec combinaisons étudié en analyse combinatoire. Les termes du triangle de Pascal correspondent également à des coefficients binomiaux et, par conséquent, il est très utile pour calculer tout binôme de Newton.
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Construction du triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est produit à partir du résultat des combinaisons, cependant il existe une méthode pratique qui facilite la façon de le construire. La première ligne et la première colonne sont comptées comme ligne zéro et colonne zéro.
Nous pouvons utiliser autant de lignes que nécessaire dans cette construction, donc le triangle peut avoir des lignes infinies. Le raisonnement pour l'élaboration des lignes est toujours le même. Voir:
Nous savons que les termes triangulaires sont des combinaisons, étudié en analyse combinatoire. Pour remplacer le triangle de Pascal par des valeurs numériques, nous savons que les combinaisons d'un nombre avec zéro et d'un nombre avec lui-même sont toujours égales à 1. Par conséquent, les première et dernière valeurs sont toujours 1.
Pour trouver les autres, on commence par la ligne 2, puisque la ligne 0 et la ligne 1 sont déjà complètes. Dans la ligne 2, pour trouver la combinaison de 2 à 1, dans la ligne ci-dessus, c'est-à-dire dans la ligne 1, ajoutons le terme au-dessus dans la même colonne et le terme au-dessus dans la colonne précédente, comme indiqué dans l'image :
Après la construction de la ligne 2, il est possible de construire la ligne 3 en suivant la même procédure.
En poursuivant cette procédure, nous allons retrouver tous les termes – dans ce cas, jusqu'à la ligne 5 – mais il est possible de construire autant de lignes que nécessaire.
Propriétés du triangle de Pascal
Il y a quelques propriétés du triangle de Pascal, en raison de la régularité de sa construction. Ces propriétés sont utiles pour travailler avec des combinaisons, la construction de lignes triangulaires elle-même et la somme de lignes, de colonnes et de diagonales.
1ère propriété
La première propriété était celle que nous avons utilisée pour construire le triangle. De manière à trouver un terme dans le triangle de Pascal, ajoutez simplement le terme qui se trouve dans la ligne au-dessus et la même colonne avec le terme qui se trouve dans la colonne et la ligne avant. Cette propriété peut être représentée comme suit :
Cette propriété est connue sous le nom La relation de Stifel et il est important de faciliter la construction du triangle et de retrouver les valeurs de chacune des lignes.
2ème propriété
La somme de tous les termes d'une ligne est calculée par :
snon=2non, sur quoi non est le numéro de ligne.
Exemples:
Avec cette propriété, il est possible de savoir la somme de tous les termes sur une ligne sans nécessairement avoir à construire le triangle de Pascal. La somme de la ligne 10, par exemple, peut être calculée par 210 = 1024. Bien que tous les termes ne soient pas connus, il est déjà possible de connaître la valeur totale de la ligne entière.
3ème propriété
La somme des termes qui s'enchaînent depuis le début d'une colonne donnée pour jusqu'à une certaine ligne non est le même que le terme sur la ligne n+1 dos et colonne p+1 plus tard, comme indiqué ci-dessous :
4ème propriété
La somme d'une diagonale qui commence dans la colonne 0 et va au terme dans la colonne p et la ligne n est égale au terme dans la même colonne (p), mais dans la ligne ci-dessous (n+1), comme le montre l'image :
5ème propriété
Il y a symétrie dans les lignes du triangle de Pascal. Le premier et le deuxième terme sont égaux, le deuxième et l'avant-dernier terme sont égaux, et ainsi de suite.
Exemple:
Ligne 6: 1615 20 156 1.
Notez que les termes sont égaux à deux à deux, à l'exception du terme central.
Voir aussi: Division polynomiale: comment la résoudre ?
Le binôme de Newton
On définit le binôme de Newton a pouvoir d'un polynôme qui a deux termes. Le calcul d'un binôme est lié au triangle de Pascal, qui devient un mécanisme de calcul de ce que l'on appelle des coefficients binomiaux. Pour calculer un binôme, on utilise la formule suivante :
Notez que la valeur de l'exposant de Les il diminue jusqu'à ce que dans le dernier terme il soit égal à Les0. On sait que tout nombre élevé à 0 est égal à 1, d'où le terme Les n'apparaît pas dans le dernier terme. Notez également que l'exposant de B commence par B0, bientôt B n'apparaît pas au premier terme et augmente jusqu'à atteindre Bnon, au dernier trimestre.
De plus, le nombre qui accompagne chacun des termes est ce que nous appelons un coefficient – dans ce cas connu sous le nom de coefficient binomial. Pour mieux comprendre comment résoudre ce type de binôme, accédez à notre texte: Le binôme de Newton.
coefficient binomial
Le coefficient binomial n'est rien de plus que la combinaison, qui peut être calculée à l'aide de la formule :
Cependant, pour faciliter le calcul du binôme de Newton, il est indispensable d'utiliser le triangle de Pascal, car il nous donne le résultat de la combinaison plus rapidement.
Exemple:
Pour trouver le résultat du coefficient binomial, trouvons les valeurs de la ligne 5 du triangle de Pascal, qui sont {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3oui2+ 10x2oui3 + 5xy4+1 an5
Tout simplement:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3oui2+ 10x2oui3 + 5xy4+y5
exercices résolus
Question 1 - La valeur de l'expression ci-dessous est ?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Résolution
Alternative A.
En regroupant les valeurs positives et négatives, il faut :
Notez que nous calculons en fait la soustraction entre la ligne 4 et la ligne 3 du triangle de Pascal. Par propriété, on sait que :
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Question 2 - Quelle est la valeur de l'expression ci-dessous ?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Résolution
Variante B.
Notez que nous ajoutons les termes de la colonne 1 du triangle de Pascal à la ligne 7, puis à la 3e propriété, la valeur de cette somme est égale au terme qui occupe la ligne 7+1 et la colonne 1+1, c'est-à-dire la ligne 8, colonne 2. Puisque nous ne voulons qu'une seule valeur, la construction du triangle Pascal entier n'est pas pratique.
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
