Règle de Sarrus. Déterminant et règle de Sarrus

Chaque matrice carrée peut être associée à un nombre, qui est obtenu à partir de calculs effectués entre les éléments de cette matrice. Ce numéro s'appelle le déterminant.

L'ordre de la matrice carrée détermine la meilleure méthode pour calculer son déterminant. Pour les matrices d'ordre 2, par exemple, il suffit de trouver la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des éléments de la diagonale secondaire. Pour les matrices 3x3, on peut appliquer la règle de Sarrus ou encore la Théorème de Laplace. Rappelons que ce dernier peut également être utilisé pour calculer des déterminants de matrices carrées d'ordre supérieur à 3. Dans des cas particuliers, le calcul du déterminant peut être simplifié de quelques propriétés déterminantes.

Pour comprendre comment le déterminant est calculé avec la règle de Sarrus, considérons la matrice A suivante d'ordre 3 :

Représentation d'une matrice d'ordre 3

Initialement, les deux premières colonnes sont répétées à droite de la matrice A :

Il faut répéter les deux premières colonnes à droite de la matrice

Ensuite, les éléments de la diagonale principale sont multipliés. Ce processus doit également être fait avec les diagonales qui sont à droite de la diagonale principale afin qu'il soit possible ajouter les produits de ces trois diagonales :

dét A_pour = Les₁₁.Les₂₂.Les₃₃ + le₁₂.Les₂₃.Les₃₁ + le₁₃.Les₂₁.Les₃₂

Il faut additionner les produits des diagonales principales

Le même processus doit être effectué avec la diagonale secondaire et les autres diagonales à sa droite. Cependant, il est nécessaire soustraire les produits trouvés :

dét A_s = - une₁₃.Les₂₂.Les₃₁ - une₁₁.Les₂₃.Les₃₃ - une₁₂.Les₂₁.Les₃₃

Il faut soustraire les produits des diagonales secondaires

En joignant les deux processus, il est possible de trouver le déterminant de la matrice A :

det A = det A_pour + dét A_s

det A = Les₁₁.Les₂₂.Les₃₃ + le₁₂.Les₂₃.Les₃₁ + le₁₃.Les₂₁.Les₃₂- une₁₃.Les₂₂.Les₃₁ - une₁₁.Les₂₃.Les₃₃ - une₁₂.Les₂₁.Les₃₃

Représentation de l'application de la règle Sarrus

Voyons maintenant le calcul du déterminant de la matrice B suivante d'ordre 3x3 :

Calcul du déterminant de la matrice B à l'aide de la règle de Sarrus

En utilisant la règle de Sarrus, le calcul du déterminant de la matrice B se fera comme suit :

Application de la règle de Sarrus pour trouver le déterminant de la matrice B

det B = B₁₁.B₂₂.B₃₃ + b₁₂.B₂₃.B₃₁ + b₁₃.B₂₁.B₃₂-B₁₃.B₂₂.B₃₁ -B₁₁.B₂₃.B₃₃ -B₁₂.B₂₁.B₃₃

det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2

det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80

det B = 22– 56

det B = – 34

Par conséquent, par la règle de Sarrus, le déterminant de la matrice B est – 34.

Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm