Chaque matrice carrée peut être associée à un nombre, qui est obtenu à partir de calculs effectués entre les éléments de cette matrice. Ce numéro s'appelle le déterminant.
L'ordre de la matrice carrée détermine la meilleure méthode pour calculer son déterminant. Pour les matrices d'ordre 2, par exemple, il suffit de trouver la différence entre le produit des éléments de la diagonale principale et le produit des éléments de la diagonale secondaire. Pour les matrices 3x3, on peut appliquer la règle de Sarrus ou encore la Théorème de Laplace. Rappelons que ce dernier peut également être utilisé pour calculer des déterminants de matrices carrées d'ordre supérieur à 3. Dans des cas particuliers, le calcul du déterminant peut être simplifié de quelques propriétés déterminantes.
Pour comprendre comment le déterminant est calculé avec la règle de Sarrus, considérons la matrice A suivante d'ordre 3 :
Représentation d'une matrice d'ordre 3
Initialement, les deux premières colonnes sont répétées à droite de la matrice A :
Il faut répéter les deux premières colonnes à droite de la matrice
Ensuite, les éléments de la diagonale principale sont multipliés. Ce processus doit également être fait avec les diagonales qui sont à droite de la diagonale principale afin qu'il soit possible ajouter les produits de ces trois diagonales :
dét Apour = Les11.Les22.Les33 + le12.Les23.Les31 + le13.Les21.Les32
Il faut additionner les produits des diagonales principales
Le même processus doit être effectué avec la diagonale secondaire et les autres diagonales à sa droite. Cependant, il est nécessaire soustraire les produits trouvés :
dét As = - une13.Les22.Les31 - une11.Les23.Les33 - une12.Les21.Les33
Il faut soustraire les produits des diagonales secondaires
En joignant les deux processus, il est possible de trouver le déterminant de la matrice A :
det A = det Apour + dét As
det A = Les11.Les22.Les33 + le12.Les23.Les31 + le13.Les21.Les32- une13.Les22.Les31 - une11.Les23.Les33 - une12.Les21.Les33
Représentation de l'application de la règle Sarrus
Voyons maintenant le calcul du déterminant de la matrice B suivante d'ordre 3x3 :
Calcul du déterminant de la matrice B à l'aide de la règle de Sarrus
En utilisant la règle de Sarrus, le calcul du déterminant de la matrice B se fera comme suit :
Application de la règle de Sarrus pour trouver le déterminant de la matrice B
det B = B11.B22.B33 + b12.B23.B31 + b13.B21.B32-B13.B22.B31 -B11.B23.B33 -B12.B21.B33
det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2
det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80
det B = 22– 56
det B = – 34
Par conséquent, par la règle de Sarrus, le déterminant de la matrice B est – 34.
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm