Exercices d'intérêts composés

Les intérêts composés représentent la correction appliquée à un montant qui a été emprunté ou appliqué. Ce type de correction est également appelé intérêt sur intérêt.

En tant que contenu d'une grande applicabilité, il apparaît fréquemment dans les concours, les examens d'entrée et sur Enem. Par conséquent, utilisez les questions ci-dessous pour vérifier votre connaissance de ce contenu.

Questions commentées

1) Enem - 2018

Un contrat de prêt prévoit que lorsqu'une échéance est payée d'avance, une réduction d'intérêt sera accordée conformément à la période d'avance. Dans ce cas, la valeur actuelle est payée, qui est la valeur à ce moment-là, d'un montant qui devrait être payé à une date future. Une valeur actuelle P soumise à un intérêt composé au taux i, pendant une période de temps n, produit une valeur future V déterminée par la formule

Dans un contrat de prêt à soixante versements mensuels fixes, de R$ 820,00, à un taux d'intérêt de 1,32% par mois, ensemble avec le trentième acompte, un autre acompte sera payé d'avance, à condition que l'escompte soit supérieur à 25 % de la valeur du portion.

Utilisez 0,2877 comme approximation pour et 0,0131 comme approximation de ln (1,0132).
Le premier des versements qui peuvent être anticipés avec le 30e est le

a) 56e
b) 55e
c) 52e
d) 51e
e) 45e

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Dans la question proposée, nous voulons savoir quelle tranche, en appliquant la réduction d'intérêt lors du paiement à l'avance, le montant payé bénéficie d'un escompte supérieur à 25 %, c'est-à-dire :

Simplifier la fraction (diviser le haut et le bas par 25), découvrir que le montant à payer pour l'acompte doit être :

L'acompte anticipé correspond à la valeur future corrigée de la valeur actuelle, c'est-à-dire actualisée les intérêts de 1,32 % lors du paiement de cette acompte avant l'échéance, soit :

Où n est égal à la période à anticiper. En remplaçant cette expression dans la précédente, on a :

Comme 820 apparaît des deux côtés de l'inégalité, nous pouvons simplifier, "couper" cette valeur :

On peut inverser les fractions en prenant soin d'inverser aussi le signe de l'inégalité. Ainsi, notre expression est :

Notez que la valeur que nous voulons trouver est dans l'exposant (n). Par conséquent, pour résoudre l'inégalité, nous appliquerons le logarithme népérien (ln) des deux côtés de l'inégalité, c'est-à-dire :

Maintenant, nous pouvons substituer les valeurs indiquées dans l'instruction et trouver la valeur de n :

Comme n doit être supérieur à la valeur trouvée, alors nous devrons anticiper 22 versements, c'est-à-dire que nous paierons le 30e versement avec le 52e (30 + 22 = 52).

Alternative: c) 52e

2) Enem - 2011

Un jeune investisseur doit choisir quel investissement lui apportera le meilleur retour financier dans un investissement de 500,00 R$. Pour ce faire, il recherche les revenus et l'impôt à payer sur deux placements: l'épargne et le CDB (certificat de dépôt bancaire). Les informations obtenues sont résumées dans le tableau :

Pour le jeune investisseur, au bout d'un mois, l'application la plus avantageuse est

a) des économies, car elles totaliseront 502,80 R$.
b) des économies, puisqu'elles s'élèveront à 500,56 R$.
c) la CDB, car elle totalisera un montant de 504,38 R$.
d) la CDB, car elle totalisera un montant de 504,21 R$.
e) la CDB, car elle totalisera un montant de 500,87 R$.

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Pour savoir quel est le meilleur rendement, calculons combien chacun rapportera à la fin d'un mois. Commençons donc par calculer le revenu de l'épargne.

Compte tenu des données du problème, nous avons :

c = 500,00 BRL
i = 0,560 % = 0,0056 du matin
t = 1 mois
M = ?

En remplaçant ces valeurs dans la formule des intérêts composés, on a :

M = C (1+i)^t
M_{des économies} = 500 (1 + 0,0056)¹
M_{des économies} = 500.1,0056
M_{des économies} = 502,80 BRL

Comme dans ce type de demande, il n'y a pas de réduction d'impôt sur le revenu, ce sera donc le montant racheté.

Calculons maintenant les valeurs pour le CDB. Pour cette application, le taux d'intérêt est égal à 0,876 % (0,00876). En remplaçant ces valeurs, nous avons :

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = 504,38 BRL

Ce montant ne sera pas le montant reçu par l'investisseur, car dans cette application il y a une remise de 4%, relatif à l'impôt sur le revenu, qui doit être appliqué sur les intérêts perçus, comme indiqué mugissement:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Nous devons calculer 4% de cette valeur, il suffit de faire :

4,38.0,04 = 0,1752

En appliquant cette remise à la valeur, on trouve :

504,38 - 0,1752 = 504,21 BRL

Alternative: d) la CDB, car elle totalisera un montant de 504,21 R$.

3) UERJ - 2017

Un capital de Creais a été investi à un intérêt composé de 10 % par mois et a généré, en trois mois, un montant de 53 240 R$. Calculez la valeur, en reais, du capital initial C.

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Nous avons les données suivantes dans le problème :

M = 53240,00 BRL
i = 10 % = 0,1 par mois
t = 3 mois
C = ?

En remplaçant ces données dans la formule des intérêts composés, nous avons :

M = C (1+i)^t
53240 = C (1+0,1)³
53240 = 1,331 C

4) Fuvest - 2018

Maria souhaite acheter un téléviseur qui est vendu pour 1 500,00 R$ en espèces ou en 3 versements mensuels sans intérêt de 500,00 R$. L'argent que Maria a mis de côté pour cet achat n'est pas suffisant pour payer en liquide, mais elle découvre que la banque propose un placement financier qui rapporte 1% par mois. Après avoir fait les calculs, Maria a conclu que si elle paie le premier versement et, le même jour, applique le montant restant, vous pourrez payer les deux versements restants sans avoir à mettre ou à prendre un centime pas même. Combien Maria a-t-elle mis de côté pour cet achat, en reais ?

a) 1 450,20
b) 1 480,20
c) 1 485,20
d) 1 495,20
e) 1 490,20

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Dans ce problème, nous devons faire l'équivalence des valeurs, c'est-à-dire que nous connaissons la valeur future qui doit être payée à chaque versement et que nous voulons connaître la valeur actuelle (capital qui sera appliqué).

Pour cette situation, nous utilisons la formule suivante :

Considérant que la demande devrait rapporter 500,00 BRL au moment du paiement du deuxième acompte, soit 1 mois après le paiement du premier acompte, nous avons :

Pour payer le troisième versement également de 500,00 R$, le montant sera appliqué pendant 2 mois, le montant appliqué sera donc égal à :

Ainsi, le montant que Maria a mis de côté pour l'achat est égal à la somme des montants appliqués avec le montant du premier versement, soit :

V = 500 + 495,05 + 490,15 = 1 485,20 BRL

Alternative: c) 1 485,20 BRL

5) UNESP - 2005

Mário a contracté un prêt de 8 000,00 R$ à 5% d'intérêt par mois. Deux mois plus tard, Mário a payé 5 000,00 R$ du prêt et, un mois après ce paiement, il a remboursé toutes ses dettes. La valeur du dernier paiement était :

a) 3 015 BRL.
b) 3 820,00 BRL.
c) 4 011,00 BRL.
d) 5 011,00 BRL.
e) 5 250,00 BRL.

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Nous savons que le prêt a été remboursé en deux versements et que nous disposons des données suivantes :

V_P = 8000
i = 5 % = 0,05 du matin
V_F1 = 5000
V_F2 = x

En considérant les données et en faisant l'équivalence des capitales, on a :

Alternative: c) R$ 4.011,00.

6) PUC/RJ - 2000

Une banque facture un taux d'intérêt de 11% par mois sur son service de découvert. Pour chaque 100 reais de découvert, la banque facture 111 le premier mois, 123,21 le deuxième, et ainsi de suite. Sur un montant de 100 reais, au bout d'un an la banque facturera environ :

a) 150 réaux.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

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À partir des informations données dans le problème, nous avons identifié que la correction du montant facturé par le découvert se fait par intérêt composé.

A noter que le montant facturé pour le deuxième mois a été calculé en considérant le montant déjà corrigé pour le premier mois, soit :

J = 111. 0,11 = BRL 12,21

M = 111 + 12,21 = 123,21 BRL

Par conséquent, pour trouver le montant que la banque facturera à la fin d'une année, appliquons la formule des intérêts composés, c'est-à-dire :

M = C (1+i)^t

Étant:

C = 100,00 BRL
i = 11 % = 0,11 par mois
t = 1 an = 12 mois
M = 100 (1+0.11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3 498

Alternative: e) 350 reais

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