En étudiant l'ensemble des nombres rationnels, nous trouvons des fractions qui, une fois converties en nombres décimaux, deviennent des nombres décimaux périodiques. Pour effectuer cette transformation, il faut diviser le numérateur de la fraction par son dénominateur, comme dans le cas de la fraction 
. De même, grâce à une décimale périodique, on peut trouver la fraction qui lui a donné naissance. Cette fraction est appelée "fraction génératrice”.
Dans toute décimale périodique, le nombre qui se répète est appelé le cours du temps. Dans l'exemple donné, nous avons une décimale périodique simple, et la période est le nombre 6. Grâce à une équation simple, nous pouvons trouver la fraction génératrice de 0,6666…
Premièrement, nous pouvons affirmer que :
X = 0,666...
À partir de là, nous vérifions le nombre de chiffres de la période. Dans ce cas, la période a un chiffre. Alors multiplions les deux côtés de l'équation par 10, si la période avait 2 chiffres, on multiplierait par 100, dans le cas de 3 chiffres, par 1000, et ainsi de suite. Ainsi, nous aurons :
10X = 6,666...
Dans le deuxième membre de l'équation, nous pouvons décomposer le nombre 6 666... en un nombre entier et un autre décimal comme suit :
10 X = 6 + 0,666...
Cependant, dès le début, nous avons dit que X = 0,666..., nous pouvons donc remplacer la partie décimale de l'équation par x et il nous reste :
10 x = 6 + X
En utilisant les propriétés de base des équations, nous pouvons alors changer la variable x du deuxième au premier côté de l'équation :
10 x - x = 6
En résolvant l'équation, nous aurons :
9 x = 6
x = 6
9
En simplifiant la fraction par 3, on a :
x = 2
3
Bientôt, 
, c'est à dire, 
est la fraction génératrice de la décimale périodique 0,6666... .
Voyons quand nous avons une décimale composite périodique, comme dans le cas de 0,03131… Nous allons commencer de la même manière :
X = 0,03131...
Afin de rendre cette égalité plus similaire à l'exemple précédent, nous devons la modifier afin que nous n'ayons aucun nombre entre le signe égal et le point. Pour cela, multiplions l'équation par 10 :
10 X = 0,313131... ***
En suivant le raisonnement utilisé dans le premier exemple, nous avons que la décimale périodique a une période à deux chiffres, multiplions donc l'équation par 100.
1000 X = 31,313131...
Maintenant il suffit de casser toute la partie de la décimale, dans le second membre de l'égalité.
1000 X = 31 + 0,313131...
mais ***, Nous devons 10 X = 0,313131..., remplaçons le nombre décimal par 10 X.
1000 X = 31 + 10 X
1000 X - 10 x = 31
990 X = 31
X = 31
990
Donc la fraction génératrice de 0,0313131… é 31 . Cette règle peut être appliquée à toutes les dîmes périodiques.
990
Par Amanda Gonçalves
Diplômé en Mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm
