Nous avons établi un Occupation quand on rapporte une ou plusieurs grandeurs. Une partie des phénomènes naturels peut être étudiée grâce au développement dans ce domaine des mathématiques. L'étude des fonctions est divisée en deux parties, nous avons la partie générale, dans laquelle nous étudions les notionsgénéral, et la partie spécifique, où nous étudions les cas particuliers, telles que les fonctions polynomiales et les fonctions exponentielles.
Voir aussi: Comment représenter graphiquement une fonction ?
Quelles sont les fonctions ?
Une fonction est une application qui relie les éléments de deux ensembles pas vide. Considérons deux ensembles non vides A et B, où une fonction F relater chaque élément de A à seulement un élément de B.
Pour mieux comprendre cette définition, imaginez un trajet en taxi. Pour chaque trajet, c'est-à-dire pour chaque distance parcourue, il y a un prix différent et unique, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun sens qu'un trajet ait deux prix différents.
Nous pouvons représenter cette fonction qui prend des éléments de l'ensemble A à l'ensemble B des manières suivantes.
Notez que pour chaque élément de l'ensemble A, il existe un élément connexe unique avec lui dans le set B. Maintenant, nous pouvons penser, après tout, quand une relation entre deux ensembles ne sera pas une fonction? Eh bien, lorsqu'un élément de l'ensemble A est lié à deux éléments distincts de B, ou lorsqu'il y a des éléments de l'ensemble A qui ne sont pas liés à des éléments de B. Voir:
D'une manière générale, nous pouvons écrire une fonction algébriquement comme ceci :
F: A → B
x → y
Notez que la fonction prend des éléments de l'ensemble A (représenté par x) et les prend aux éléments de B (représentés par y). On peut aussi dire que les éléments de l'ensemble B sont donnés en fonction des éléments de l'ensemble A, on peut donc représenter y par :
y = F(X)
Il se lit comme suit: (y est égal à f de x)
Domaine, co-domaine et image d'un rôle
Quand on a un rôle F, les ensembles liés reçoivent des noms spéciaux. Considérons donc une fonction F qui prend des éléments de l'ensemble A aux éléments de l'ensemble B :
F: A → B
L'ensemble A, d'où partent les relations, est appelé domaine de la fonction, et l'ensemble qui reçoit les "flèches" de cette relation est appelé contre-domaine. Nous désignons ces ensembles comme suit :
réF = A → Domaine de F
CDF = B → Contre-domaine de F
Le sous-ensemble du contre-domaine d'une fonction formé par des éléments qui se rapportent à des éléments de l'ensemble est appelé Image de la fonction et est noté :
je suisF → Image de F
- Exemple
Considérez la fonction f: A → B représentée dans le schéma ci-dessous et déterminez le domaine, le contre-domaine et l'image.
Comme dit, l'ensemble A = {1, 2, 3, 4} est le domaine de la fonction F, tandis que l'ensemble B = {0, 2, 3, –1} est le contre-domaine de la même fonction. Maintenant, remarquons que l'ensemble formé par les éléments qui reçoivent la flèche (en orange) formé par les éléments {0, 2, -1} est un sous-ensemble du contre-domaine B, cet ensemble est l'image de la fonction F, Donc:
réF = A = {1, 2, 3, 4}
CDF = B = {0, 2, 3, -1}
je suisF = {0, 2, –1}
Nous disons que le 0 est l'image de l'élément 1 du domaine, ainsi que les 2 c'est l'image des éléments 2 et 3 du domaine, et –1 est l'image de l'élément 4 du domaine. Pour en savoir plus sur ces trois concepts, lisez: rédomaine, co-domaine et image.
Fonction subjective
Une fonction F: A → B sera surjectif ou surjectif si, et seulement si, l'ensemble d'images coïncide avec le contre-domaine, c'est-à-dire si tous les éléments du contre-domaine sont des images.
On dit alors qu'une fonction est surjective lorsque tous les éléments du contre-domaine reçoivent des flèches. Si vous souhaitez approfondir ce type de fonction, visitez notre texte: Fonction Overjet.
Fonction d'injection
Une fonction F: A → B sera injectif ou injectif si, et seulement si, des éléments distincts du domaine ont des images distinctes dans le contre-domaine, c'est-à-dire, les mêmes images sont générées par les mêmes éléments du domaine.
Notez que la condition est que différents éléments du domaine se rapportent à différents éléments du contre-domaine, il n'y a aucun problème avec les éléments restants dans le contre-domaine. Pour mieux comprendre ce concept, vous pouvez lire le texte: Fonction injecteur.
Fonction bijecteur
Une fonction F: A → B sera bijectif si, et seulement si, il est injecteur et surjecteur simultanément, c'est-à-dire que des éléments distincts du domaine ont des images distinctes et que l'image coïncide avec le contre-domaine.
- Exemple
Dans chaque cas, justifiez si la fonction f (x) = x2 c'est injecteur, surjecteur ou bijecteur.
Le) F: ℝ+ → ℝ
Notez que le domaine de la fonction est constitué de tous les réels positifs et que le contre-domaine est constitué de tous les nombres réels. On sait que la fonction f est donnée par f (x) = x2, imaginez maintenant que tous les nombres réels positifs sont haute au carré, toutes les images seront également positives. Nous pouvons donc conclure que la fonction est injective et non surjective, car les nombres réels négatifs ne recevront pas de flèches.
Il s'agit d'injecter, comme chaque élément du domaine (ℝ+) ne concerne qu'un élément du contre-domaine (ℝ).
B) F: ℝ → ℝ+
La fonction, dans ce cas, a le domaine comme tous les réels et le contre-domaine comme les réels positifs. Nous savons que tout nombre réel au carré est positif, donc tous les éléments du contre-domaine ont reçu des flèches, donc la fonction est surjective. Il ne s'agira pas d'injecter car les éléments du domaine se rapportent à deux éléments du domaine compteur, par exemple :
F(–2) = (–2)2 = 4
F(2) = (2)2 = 4
ç) F:ℝ+ → ℝ+
Dans cet exemple, la fonction a domaine et contre-domaine comme nombres réels positifs, donc la fonction est bijecteur, car chaque nombre réel positif se rapporte à un seul nombre réel positif du contre-domaine, en l'occurrence le carré du nombre. De plus, tous les numéros de contre-domaine ont reçu des flèches.
fonction composite
LES fonction composite est associé à la idée de raccourci. Considérons trois ensembles non vides A, B et C. Considérons également deux fonctions f et g, où la fonction f prend les éléments x de l'ensemble A aux éléments y = f (x) de l'ensemble B, et la fonction g prend les éléments y = f (x) aux éléments z de l'ensemble C.
La fonction composite reçoit ce nom car c'est une application qui prend des éléments de l'ensemble A directement aux éléments de l'ensemble C, sans passer par l'ensemble B, par la composition des fonctions f et g. Voir:
La fonction notée (f o g) prend les éléments de l'ensemble A directement à l'ensemble C. C'est ce qu'on appelle une fonction composée.
- Exemple
Considérons la fonction f(x) = x2 et la fonction g (x) = x + 1. Trouvez les fonctions composées (f o g)(x) et (g o f)(x).
La fonction f o g est donnée par la fonction g appliquée à f, soit :
(f o g)(x) = f (g(x))
Pour déterminer cette fonction composée, il faut considérer la fonction F,et, à la place de la variable x, il faut écrire la fonction g. Voir:
X2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
De même, pour déterminer la fonction composée (g o f)(x), il faut appliquer la fonction F dans le rôle g, c'est-à-dire considérer la fonction g et écrire la fonction f à la place de la variable. Voir:
(x + 1)
X2 + 1
Par conséquent, la fonction composée (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Même fonction
Considérons une fonction F: A → ℝ, où A est un sous-ensemble des réels non vides. Une fonction f ne sera paire que pour tout réel x.
Exemple
Considérez la fonction F: ℝ → ℝ, donné par f (x) = x2.
Notez que pour toute valeur réelle de x, si elle est au carré, le résultat est toujours positif, c'est-à-dire :
f(x) = x2
et
f(–x) = (–x)2 = x2
Donc f(x) = f(–x) pour toute valeur réelle de x, donc la fonction F c'est la paire.
A lire aussi :Propriétés de puissances - quels sont-ils et comment à utiliserair?
fonction unique
Considérons une fonction F: A → ℝ, où A est un sous-ensemble des réels non vides. Une fonction f ne sera impaire que pour tout réel x.
- Exemple
Considérez la fonction F: ℝ → ℝ, donné par f (x) = x3.
Voyez que pour toute valeur de x on peut écrire que (–x)3 = -x3. Découvrez quelques exemples :
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
On peut donc dire que :
f(–x) = (–x)3 = –X3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Donc pour tout réel x f(–x) = –f (x), et donc la fonction f (x) = x3 est unique.
fonction croissante
Une fonction F é croissance à un intervalle si et seulement si, à mesure que les éléments du domaine grandissent, leurs images grandissent également. Voir:
Notez que x1 > x2 et la même chose arrive avec l'image, donc nous pouvons établir une condition algébrique pour la fonction F être croissance.
Fonction descendante
Une fonction F é décroissant à un intervalle si et seulement si, au fur et à mesure que les éléments du domaine grandissent, leurs images diminuent. Voir:
Voir que, dans le domaine de la fonction, nous avons que x1 > x2, cependant cela ne se produit pas dans la fonction image, où f (x1) < f(x2). On peut donc établir une condition algébrique pour les fonctions décroissantes. Voir:
fonction constante
Comme son nom l'indique, un la fonction est constant quand, pour n'importe quelle valeur domaine, la valeur de l'image est toujours la même.
fonction associée
LES fonction affine ou polynôme du premier degré s'écrit sous la forme:
f (x) = ax + b
Où a et b sont des nombres réels, a est non nul et votre graphique est une ligne. La fonction a un domaine réel et également un contre-domaine réel.
fonction quadratique
LES fonction quadratique ou la fonction polynomiale du second degré est donnée par une polynôme de deuxième année, Donc:
f(x) = hache2 + bx + c
Où a, b et c sont des nombres réels non nuls, et votre graphique est un parabole. Le rôle a également un domaine réel et un domaine de compteur.
fonction modulaire
LES fonction modulaire avec la variable x trouve-si à l'intérieur du module et algébriquement il s'exprime par :
f(x) = |x|
La fonction a également un domaine réel et un domaine de compteur, c'est-à-dire que nous pouvons calculer la valeur absolue de n'importe quel nombre réel.
fonction exponentielle
LES fonction exponentielleaffiche la variable x dans l'exposant. Il a également un domaine réel et un contre-domaine réel et est décrit algébriquement par :
f(x) = unX
Où a est un nombre réel supérieur à zéro.
fonction logarithmique
LES fonction logarithmique a la variable en logarithme et le domaine formé par les nombres réels supérieurs à zéro.
Fonctions trigonométriques
À fonctions trigonométriques ont le variable x impliquant des rapports trigonométriques, les principaux sont :
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
fonction racine
La fonction racine est caractérisée par le fait que variable à l'intérieur de la racine, avec cela, si l'indice de la racine est pair, le domaine de la fonction ne devient que les nombres réels positifs.
par Robson Luiz
Professeur de mathématiques