La table de vérité ou table de vérité est un outil mathématique largement utilisé dans le domaine du raisonnement logique. Son objectif est de vérifier la validité logique d'une proposition composée (argument formé de deux ou plusieurs propositions simples).
Exemples de propositions composites :
- Jean est grand et Marie est petite.
- Pierre est grand ou alors Joana est blonde.
- si Pierre est grand, ensuite Jeanne est rousse.
Chacune des propositions composites ci-dessus est formée de deux propositions simples jointes par les connecteurs gras. Chaque proposition simple peut être vraie ou fausse et cela impliquera directement la valeur logique de la proposition composée. Si nous adoptons l'expression "John est grand et Mary est petite», les valorisations possibles de cette déclaration seront :
- Si Jean est grand et Marie est petite, la phrase « Jean est grand et Marie est petite » est VRAIE.
- Si Jean est grand et que Marie n'est pas petite, la phrase « Jean est grand et Marie est petite » est FAUX.
- Si Jean n'est pas grand et que Marie est petite, la phrase « Jean est grand et Marie est petite » est FAUX.
- Si Jean n'est pas grand et que Marie n'est pas petite, la phrase « Jean est grand et Marie est petite » est FAUX.
La table de vérité expose ce même raisonnement (voir sujet Conjonction ci-dessous) plus directement. De plus, des règles de table de vérité peuvent être appliquées. quel que soit le nombre de propositions dans la phrase.
Comment ça fonctionne?
Tout d'abord, transformez les propositions de la question en symboles utilisés en logique. La liste des symboles universellement utilisés est :
| symbole | Opération logique | Sens | Exemple |
|---|---|---|---|
| P | . | Proposition 1 | p = Jean est grand. |
| quelle | . | Proposition 2 | q = Marie est petite. |
| ~ | Le déni | non | Si John est grand, "~p" c'est un faux. |
| ^ | Conjonction | et | P^quelle = John est grand et Mary est petite. |
| v | Disjonction | ou alors | Pvq = Jean est grand ou Marie est petite. |
| → | Conditionnel | si donc | P→quelle = Si Jean est grand, alors Marie est petite. |
| ↔ | biconditionnel | si et seulement si | P↔q = Jean est grand si et seulement si Marie est petite. |
Ensuite, un tableau est assemblé avec toutes les possibilités d'évaluation d'une proposition composée, en remplaçant les énoncés par des symboles. Il convient de préciser que dans les cas où il y a plus de deux propositions, elles peuvent être symbolisées par les lettres r, s, etc.
Enfin, l'opération logique définie par le connecteur représenté est appliquée. Comme indiqué ci-dessus, ces opérations peuvent être: négation, conjonction, disjonction, conditionnelle et biconditionnelle.
Le déni
Le refus est symbolisé par ~. L'opération logique de négation est la plus simple et ne nécessite souvent pas l'utilisation de la table de vérité. En suivant le même exemple, si John est grand (p) dire que John n'est pas grand (~p) est FAUX, et vice versa.
Conjonction
La conjonction est symbolisée par ^. L'exemple "Jean est grand et Marie est petite" sera symbolisé par "p^q" et la table de vérité sera :
La conjonction suggère une idée d'accumulation, donc si l'une des propositions simples est fausse, il est impossible que la proposition composée soit vraie.
Conclusion: les propositions composées conjonctives (contenant le conjonctif et) ne sera vrai que si tous ses éléments sont vrais.
Exemple:
- Paulo, Renato et Túlio sont gentils et Carolina est drôle. - Si Paulo, Renato ou Túlio ne sont pas gentils ou Carolina n'est pas drôle, la proposition sera FAUX. Il est nécessaire que tout l'information est vraie pour que la proposition composite soit VRAIE.
Disjonction
La disjonction est symbolisée par v. Changer le connecteur de l'exemple ci-dessus pour ou alors nous aurons "Jean est grand ou Marie est petite". Dans ce cas, la phrase sera symbolisée par "pvq" et la table de vérité sera :
La disjonction implique une idée d'alternance, il suffit donc qu'une des propositions simples soit vraie pour que la proposition composée soit aussi vraie.
Conclusion: les propositions composées disjonctives (qui contiennent le connecteur ou alors) ne sera faux que si tous ses éléments sont faux.
Exemple:
- Ma mère, mon père ou mon oncle m'offriront un cadeau. - Pour que la déclaration soit VRAIE, il suffit qu'un seul parmi la mère, le père ou l'oncle fasse le don. La proposition ne sera FAUX que si aucun d'entre eux ne la donne.
Conditionnel
Le conditionnel est symbolisé par →. Il est exprimé par les connecteurs si et ensuite, qui interconnectent les propositions simples dans une relation causale. L'exemple "Si Paulo est de Rio de Janeiro, alors il est brésilien" devient "p→q" et la table de vérité sera :
Les conditionnels ont une proposition antécédente et une conséquente, séparés par le connecteur ensuite. Dans l'analyse des conditionnels, il est nécessaire d'évaluer dans quels cas la proposition c'est peut être possible, considérant la relation d'implication entre l'antécédent et le conséquent.
Conclusion: Propositions composées conditionnelles (contenant les connecteurs si et ensuite) ne sera faux que si la première proposition est vraie et la seconde fausse.
Exemple:
- Si Paulo est originaire de Rio, alors il est brésilien. - Pour que cette proposition soit considérée comme VRAIE, il faut évaluer les cas dans lesquels elle est POSSIBLE. D'après la table de vérité ci-dessus, on a :
- Paulo est de Rio / Paulo est brésilien = POSSIBLE
- Paulo est de Rio / Paulo n'est pas brésilien = IMPOSSIBLE
- Paulo n'est pas de Rio / Paulo est brésilien = POSSIBLE
- Paulo n'est pas carioca / Paulo n'est pas brésilien = POSSIBLE
biconditionnel
Le biconditionnel est symbolisé par ↔. Il se lit à travers les connecteurs si et seulement si, qui relient les propositions simples dans une relation d'équivalence. L'exemple "Jean est heureux si et seulement si Marie sourit". devient "p↔q" et la table de vérité sera :
Les biconditionnels suggèrent une idée d'interdépendance. Comme son nom l'indique, le biconditionnel est composé de deux conditionnels: un qui part de P pour quelle (P→q) et un autre dans le sens opposé (q→P).
Conclusion: À propositions composées biconditionnelles (contenant les connecteurs si et seulement si) ne sera vrai que lorsque toutes les propositions sont vraies ou que toutes les propositions sont fausses.
Exemple:
- João est heureux si et seulement si Maria sourit. - Cela veut dire que :
- Si Jean est heureux, Marie sourit et si Marie sourit, Jean est heureux = RÉEL
- Si Jean n'est pas content, Marie ne sourit pas et si Marie ne sourit pas, Jean n'est pas content = RÉEL
- Si João est content, Maria ne sourit pas = FAUX
- Si João n'est pas content, Maria sourit = FAUX
Aperçu
Il est courant que les spécialistes de la table de vérité mémorisent les conclusions de chacune des opérations logiques. Pour gagner du temps lors de la résolution des problèmes, gardez toujours à l'esprit que :
- Propositions conjonctives : Ils ne seront vrais que si tous les éléments sont vrais.
- Propositions disjonctives : Il ne sera faux que lorsque tous les éléments sont faux.
- Propositions conditionnelles : Ils ne seront faux que lorsque la première proposition est vraie et la seconde fausse.
- Propositions biconditionnelles : Ce ne sera vrai que lorsque tous les éléments sont vrais ou que tous les éléments sont faux.