Somme des termes d'une AP

LES Progression arithmétique (POÊLE) c'est un séquence numérique où la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à la même valeur, une constante r.

Par exemple, (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) est un PA de rapport r = 2.

Ce type de séquence (PA) est très courant et nous pouvons souvent vouloir déterminer la somme de tous les termes de la séquence. Dans l'exemple ci-dessus, la somme est donnée par 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Cependant, lorsque le BP a plusieurs termes ou lorsque tous les termes ne sont pas connus, il devient plus difficile d'obtenir cette somme sans utiliser de formule. Alors, regardez la formule pour somme des termes d'un PA.

Formule de la somme des termes d'un PA

LES somme des termes d'unProgression arithmétique peut être déterminé en ne connaissant que le premier et le dernier terme de la suite, en utilisant la formule suivante :

$\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

Sur quoi:

$\dpi{120} \mathbf{n}$ : nombre de termes PA ;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : est le premier terme du BP ;
$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : est le dernier terme du PA.

Manifestation:

En démontrant que la formule présentée permet réellement de calculer la somme des n termes d'un AP, nous devons considérer une propriété très importante de l'AP :

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Propriétés d'un PA: la somme de deux termes qui sont à la même distance du centre d'un PA fini est toujours la même valeur, c'est-à-dire constante.

Pour comprendre comment cela fonctionne en pratique, considérons le BP de l'exemple initial (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

Maintenant, voyez que 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, qui est la somme des termes de cette PA. En outre:

Le nombre 16 ne peut être obtenu que par le premier et le dernier terme 1+ 15 = 16.
Le nombre 16 a été ajouté 4 fois, ce qui correspond à la moitié du nombre de termes de la séquence (8/2 = 4).

Ce qui s'est passé n'est pas une coïncidence et vaut pour n'importe quel PA.

Dans toute PA, la somme des termes équidistants sera toujours la même valeur, qui peut être obtenue par ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) et comme toujours sont ajoutées toutes les deux valeurs, dans une séquence de $\dpi{120} \petit \mathrm{n}$ termes, il y aura ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) un total de $\dpi{120} \small \mathrm{\frac{n}{2}}$ fois.