Somme des angles internes et externes d'un polygone convexe

Toi polygones convexes sont ceux qui n'ont pas de concavité. Pour voir si un polygone est convexe ou non, nous devons observer si un segment de ligne droite avec des extrémités dans la figure ne passe pas par la région extérieure.

Dans les polygones convexes, il existe des formules qui permettent de déterminer la somme des angles internes et externes. Vérifier!

Somme des angles internes d'un polygone convexe

La formule de somme des angles internes d'un polygone convexe avec n côtés est :

$\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

Manifestation:

Si nous regardons, nous verrons que tout polygone convexe peut être divisé en un certain nombre de triangles. Voir quelques exemples :

Ainsi, rappelant que le somme des angles internes d'un triangle est toujours égal à 180°, on voit que la somme des angles internes dans ces figures ci-dessus sera donnée par le nombre de triangles que la figure pourrait diviser par 180° :

quadrilatère: 2 triangles ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}$
Pentagone: 3 triangles ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}$
Hexagone: 4 triangles $\dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}$

Donc, pour obtenir une formule de calcul de la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe, il suffit de savoir, de manière générale, en combien de triangles un polygone convexe peut être divisé.

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Si on observe, il existe une relation entre cette quantité et le nombre de côtés des figures. Le nombre de triangles est égal au nombre de côtés du chiffre moins 2, soit :

$\dpi{120} \mathrm{Total \, de \, tri\hat{a}angles =n - 2}$

Quadrilatère: 4 côtés ⇒ n – 2 = 4 – 2 = 2
Pentagone: 5 côtés ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
Hexagone: 6 côtés ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Donc, en général, la somme des angles internes d'un polygone convexe est donnée par : $\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

C'est la formule que nous voulions démontrer.

Exemple:

Trouver la somme des angles intérieurs d'un icosagone convexe.

Un icosagone est un polygone à 20 côtés, c'est-à-dire n = 20. Remplaçons cette valeur dans la formule :

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ} }$

Par conséquent, la somme des angles internes d'un icosagone convexe est égale à 3240°.

Somme des angles extérieurs d'un polygone

LES somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est toujours égal à 360°, c'est-à-dire :

$\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}$

Manifestation:

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Nous démontrerons par des exemples que la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe ne dépend pas du nombre de côtés de la figure et est toujours égale à 360°.

Quadrilatère:

quadrilatère Notez que chaque angle intérieur forme un angle de 180° avec l'angle extérieur. Ainsi, puisqu'il y a quatre sommets, la somme de tous les angles est donnée par 4. 180° = 720°.

C'est à dire: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}$

Bientôt:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}$

Une fois que $\dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}$ , ensuite:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }$

Pentagone:

Dans le pentagone, nous avons 5 sommets, donc la somme de tous les angles est donnée par 5. 180° = 900°. Bientôt: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}$ . Puis: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}$ . Une fois que $\dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}$ , ensuite: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

Hexagone:

Dans l'hexagone, nous avons 6 sommets, donc la somme de tous les angles est donnée par 6. 180° = 1080°. Bientôt: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}$ . Puis: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}$ . Une fois que $\dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}$ , ensuite: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

Comme vous pouvez le voir, dans les trois exemples, la somme des angles extérieurs, $\dpi{120} \mathrm{S_e}$ , a abouti à 360°.

Exemple:

La somme des angles intérieurs et extérieurs d'un polygone est égale à 1800°. Quel est ce polygone ?

On a: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1800^{\circ}}$ . Sachant que dans n'importe quel polygone $\dpi{120} \mathrm{S_e = 360^{\circ}}$ , ensuite nous avons: