Exercices sur les nombres complexes: liste des questions résolues et commentaires

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Toi nombres complexes permettent de résoudre des problèmes mathématiques qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels.

Dans un nombre complexe écrit comme $\dpi{120} z = a+ bi$ , on dit que $\dpi{120} à$ est la vraie partie, $\dpi{120}b$ est la partie imaginaire et $\dpi{120} je =\sqrt{-1}$ c'est l'unité imaginaire.

Pour effectuer opérations avec des nombres complexes, certaines expressions facilitent les calculs. Considérer $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ et $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Expression d'addition entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) je$

Expression de soustraction entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) je$

Expression de la multiplication entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Expression de division entre nombres complexes :

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }je$

Ci-dessous une liste de questions résolues avec des exercices sur les nombres complexes. Apprenez à utiliser chacun des concepts impliquant ces nombres !

Indice

Liste d'exercices sur les nombres complexes
Résolution de la question 1
Résolution de la question 2
Résolution de la question 3
Résolution de la question 4
Résolution de la question 5
Résolution de la question 6
Résolution de la question 7
Résolution de la question 8

Liste d'exercices sur les nombres complexes

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Question 1. Considérant les nombres complexes $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ et $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ déterminer la valeur de $\dpi{120} Un$ , Lorsque $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Question 2. Trouver les valeurs de $\dpi{120} x$ et $\dpi{120} y$ tel que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Question 3. Considérant les nombres complexes $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , déterminer la valeur de $\dpi{120} A\cdot B$ , Lorsque $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ et $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Question 4. Calculer la valeur de $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ pour quelle raison $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Lorsque $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Question 5. Déterminer la valeur de $\dpi{120} à$ pour quelle raison $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ être un nombre imaginaire pur.

Question 6. Calculer les puissances unitaires imaginaires suivantes $\dpi{120} je$ :

Le) $\dpi{120} je^{16}$
B) $\dpi{120} je^{200}$
ç) $\dpi{120} je^{829}$
ré) $\dpi{120} je^{11475}$

Question 7. Trouver la solution de l'équation $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes.

Question 8. Déterminer la solution de l'équation $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes.

Résolution de la question 1

On a $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ et $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ et $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ et nous voulons déterminer la valeur de $\dpi{120} Un$ , Lorsque $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Tout d'abord, calculons $\dpi{120} 4z_3$ et $\dpi{120} 3z_1$ , séparément :

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Calculons maintenant $\dpi{120} Un$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Flèche droite A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

Résolution de la question 2

On veut trouver x et y pour que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Par expression de la somme entre deux nombres complexes, il faut :

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Flèche droite (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Nous devons donc avoir $\dpi{120} (2 + y) = 3$ et $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Résolvons ces deux équations pour trouver x et y.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Flèche droite y = 3-2\Flèche droite y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

Résolution de la question 3

On a $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ et nous voulons déterminer la valeur de $\dpi{120} A\cdot B$ , Lorsque $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ et $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

On calcule d'abord $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Par expression de la multiplication entre deux nombres complexes, il faut :

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Flèche droite A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

Calculons maintenant $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Flèche droite B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

Par conséquent, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Résolution de la question 4

On veut calculer la valeur de $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ pour quelle raison $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Lorsque $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Cela signifie trouver $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ de sorte que:

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$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Par l'expression de la division entre deux nombres complexes, on doit :

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

En joignant les deux conditions, nous devons avoir :

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

C'est à dire:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Résolvons chacune de ces équations, en commençant par la seconde qui ne dépend que de p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Maintenant, on trouve q par l'autre équation :

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow q = 7$

Résolution de la question 5

On veut trouver la valeur de $\dpi{120} à$ pour quelle raison $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ être un nombre imaginaire pur.

Un nombre imaginaire pur est un nombre dont la partie réelle est égale à zéro.

En considérant l'expression de la division entre deux nombres complexes, on a que :

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Pour que ce nombre soit imaginaire pur, il faut avoir :

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow a = -2$

Résolution de la question 6

En définissant des puissances et des nombres complexes, nous devons :

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} je^1 = je$
$\dpi{120} je ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} je^5 = je$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Observez un motif qui se répète toutes les quatre puissances successives: 1, i, -1 et -i.

Ainsi, pour trouver le résultat à n'importe quelle puissance de i, il suffit de diviser l'exposant par 4. Le reste de la division sera 0, 1, 2 ou 3 et cette valeur sera l'exposant que nous devrions utiliser.

Le) $\dpi{120} je^{16}$

16: 4 = 4 et le reste est 0.

Puis, $\dpi{120} je^{16} = je^0 = 1$ .