Exercices sur les nombres complexes: liste des questions résolues et commentaires

Toi nombres complexes permettent de résoudre des problèmes mathématiques qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels.

Dans un nombre complexe écrit comme $\dpi{120} z = a+ bi$ , on dit que $\dpi{120} à$ est la vraie partie, $\dpi{120}b$ est la partie imaginaire et $\dpi{120} je =\sqrt{-1}$ c'est l'unité imaginaire.

Pour effectuer opérations avec des nombres complexes, certaines expressions facilitent les calculs. Considérer $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ et $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Expression d'addition entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) je$

Expression de soustraction entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) je$

Expression de la multiplication entre nombres complexes :

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Expression de division entre nombres complexes :

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }je$

Ci-dessous une liste de questions résolues avec des exercices sur les nombres complexes. Apprenez à utiliser chacun des concepts impliquant ces nombres !

Indice

Liste d'exercices sur les nombres complexes
Résolution de la question 1
Résolution de la question 2
Résolution de la question 3
Résolution de la question 4
Résolution de la question 5
Résolution de la question 6
Résolution de la question 7
Résolution de la question 8

Liste d'exercices sur les nombres complexes

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Question 1. Considérant les nombres complexes $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ et $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ déterminer la valeur de $\dpi{120} Un$ , Lorsque $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Question 2. Trouver les valeurs de $\dpi{120} x$ et $\dpi{120} y$ tel que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Question 3. Considérant les nombres complexes $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , déterminer la valeur de $\dpi{120} A\cdot B$ , Lorsque $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ et $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Question 4. Calculer la valeur de $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ pour quelle raison $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Lorsque $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Question 5. Déterminer la valeur de $\dpi{120} à$ pour quelle raison $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ être un nombre imaginaire pur.

Question 6. Calculer les puissances unitaires imaginaires suivantes $\dpi{120} je$ :

Le) $\dpi{120} je^{16}$
B) $\dpi{120} je^{200}$
ç) $\dpi{120} je^{829}$
ré) $\dpi{120} je^{11475}$

Question 7. Trouver la solution de l'équation $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes.

Question 8. Déterminer la solution de l'équation $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ dans l'ensemble des nombres complexes.

Résolution de la question 1

On a $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ et $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ et $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ et nous voulons déterminer la valeur de $\dpi{120} Un$ , Lorsque $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Tout d'abord, calculons $\dpi{120} 4z_3$ et $\dpi{120} 3z_1$ , séparément :

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Calculons maintenant $\dpi{120} Un$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Flèche droite A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

Résolution de la question 2

On veut trouver x et y pour que $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Par expression de la somme entre deux nombres complexes, il faut :

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Flèche droite (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Nous devons donc avoir $\dpi{120} (2 + y) = 3$ et $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Résolvons ces deux équations pour trouver x et y.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\Flèche droite y = 3-2\Flèche droite y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

Résolution de la question 3

On a $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ et nous voulons déterminer la valeur de $\dpi{120} A\cdot B$ , Lorsque $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ et $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

On calcule d'abord $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Rightarrow A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Par expression de la multiplication entre deux nombres complexes, il faut :

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Flèche droite A =[4 +25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

Calculons maintenant $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Flèche droite B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = 10$

Par conséquent, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Résolution de la question 4

On veut calculer la valeur de $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ pour quelle raison $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Lorsque $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ et $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Cela signifie trouver $\dpi{120} p$ et $\dpi{120} q$ de sorte que:

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$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Par l'expression de la division entre deux nombres complexes, on doit :

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

En joignant les deux conditions, nous devons avoir :

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

C'est à dire:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Résolvons chacune de ces équations, en commençant par la seconde qui ne dépend que de p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Rightarrow p = -16$

Maintenant, on trouve q par l'autre équation :

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow q = 7$

Résolution de la question 5

On veut trouver la valeur de $\dpi{120} à$ pour quelle raison $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ être un nombre imaginaire pur.

Un nombre imaginaire pur est un nombre dont la partie réelle est égale à zéro.

En considérant l'expression de la division entre deux nombres complexes, on a que :

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Pour que ce nombre soit imaginaire pur, il faut avoir :

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Rightarrow a = -2$

Résolution de la question 6

En définissant des puissances et des nombres complexes, nous devons :

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} je^1 = je$
$\dpi{120} je ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} je^5 = je$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Observez un motif qui se répète toutes les quatre puissances successives: 1, i, -1 et -i.

Ainsi, pour trouver le résultat à n'importe quelle puissance de i, il suffit de diviser l'exposant par 4. Le reste de la division sera 0, 1, 2 ou 3 et cette valeur sera l'exposant que nous devrions utiliser.

Le) $\dpi{120} je^{16}$

16: 4 = 4 et le reste est 0.

Puis, $\dpi{120} je^{16} = je^0 = 1$ .