Condition d'alignement en trois points

Quand trois points appartiennent au même droit, ils s'appellent points alignés.

Dans la figure ci-dessous, les points $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ et $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ ce sont des points alignés.

Condition d'alignement en trois points

Si les points A, B et C sont alignés, alors les triangles ABD et BCE sont triangles similaires, ont donc des côtés proportionnels.

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Alors le condition d'alignement en trois points $\dpi{120} \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\dpi{120} \mathrm{B}(x_2,y_2)$ et $\dpi{120} \mathrm{C}(x_3,y_3)$ any, est que l'égalité suivante est satisfaite :

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}}$

Exemples:

Vérifiez que les points sont alignés :

a) (2, -1), (6, 1) et (8, 2)

On calcule le premier côté de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{6 -2}{8-6} = \frac{4}{2}=2$

On calcule le second membre de l'égalité :

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$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{1-(-1)}{2-1} = \frac{2}{1}=2$

Puisque les résultats sont égaux (2 = 2), alors les points sont alignés.

b) (-2, 0), (4, 2) et (6, 3)

On calcule le premier côté de l'égalité :

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$\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{4-(-2)}{6-4} = \frac{6}{2}=3$

On calcule le second membre de l'égalité :

$\dpi{120} \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2} = \frac{2-0}{3-2} =\frac{2}{1} =2$

Puisque les résultats sont différents (3 2), alors les points ne sont pas alignés.

Observation:

Il est possible de montrer que si: $\dpi{120} \frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Puis le déterminant matriciel des coordonnées des points est nulle, c'est-à-dire :

$\dpi{120} \mathrm{\begin{vmatrix} x_1& y_1 & 1\\ x_2& y_2 & 1\\ x_3& y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0}$

Par conséquent, une autre façon de vérifier si trois points sont alignés consiste à résoudre le déterminant.

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