Fonctions trigonométriques du demi-arc

À fonctions trigonométriques, sinus, cosinus et tangente, du demi-arc peuvent être obtenus à partir des fonctions trigonométriques du double arc.

Étant donné un arc de mesure $\dpi{120} \alpha$ , l'arc double est l'arc $\dpi{120} 2\alpha$ et le demi-arc est l'arc $\dpi{120} \alpha/2$ .

Par deux formules d'addition d'arc, on a les fonctions trigonométriques du double arc :

Sinus:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alpha} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

cosinus:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alpha} \cdot sin\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Tangente:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alpha} \cdot tan\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

A partir de ces formules, nous allons montrer les formules pour fonctions trigonométriques demi-arc.

Fonctions trigonométriques du demi-arc

Un des relations fondamentales de la trigonométrie est-ce:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

D'où obtenons-nous :

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$

remplacement $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ dans la formule du cosinus du double arc, il faut :

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

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$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

Par conséquent: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

remplacement $\dpi{120} \alpha$ par $\dpi{120} \alpha/2$ dans la formule ci-dessus et en extrayant la racine carrée des deux côtés, nous avons la formule pour cosinus du demi-arc:

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$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Remarque: le signe dans la formule sera positif ou négatif selon le quadrant de la moitié de l'arc.

Remplacement maintenant $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$ dans la formule du cosinus du double arc, il faut :

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

Par conséquent:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

remplacement $\dpi{120} \alpha$ par $\dpi{120} \alpha/2$ dans la formule ci-dessus et en extrayant la racine carrée des deux côtés, nous avons la formule pour sinus d'arc demi:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Remarque: le signe dans la formule sera positif ou négatif selon le quadrant de la moitié de l'arc.

Enfin, nous pouvons obtenir la tangente du demi-arc, en divisant le sinus du demi-arc par le cosinus du demi-arc :

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alpha}}}$

Par conséquent, la formule de demi-arc tangente é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ alpha}}}}$

Remarque: le signe dans la formule sera positif ou négatif selon le quadrant de la moitié de l'arc.

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