On dit qu'un nombre naturel est parfait s'il est égal à la somme de tous ses facteurs (diviseurs), à l'exclusion de lui-même. Par exemple, 6 et 28 sont des nombres parfaits, voir:
6 = 1 + 2 + 3 (facteurs de 6: 1, 2, 3 et 6), nous excluons le chiffre 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (facteurs de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), nous excluons les 28.
Les nombres de Mersenne sont ceux de la forme Mn = 2n – 1. Il a même pensé que cette expression serait capable de calculer des nombres premiers possibles en considérant n = nombres premiers, mais plus tard il s'est avéré qu'il avait presque raison. Par example:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 – 1 = 3 → n = 2 (cousine), M2 = 3 (cousine)
M3 = 23 – 1 = 7 → n = 3 (cousine), M3 = 7 (cousine)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 – 1 = 31 → n = 5 (cousine), M5 = 31 (cousine)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 – 1 = 127 → n = 7 (cousine), M7 = 127 (cousine)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 – 1 = 2047 → n = 11 (cousine), M11 = 2047 (pas premier)
M13 = 213 – 1 = 8191 → n = 13 (cousine), M
Dans la séquence des nombres premiers, il y a des éléments qui appliqués dans la formule de Mersenne ne génèrent pas éléments premiers, par exemple le nombre 11, lorsqu'il est appliqué à la formule a abouti à 2047, un nombre non cousin.
La connaissance des nombres parfaits est attribuée à Euclide, le célèbre mathématicien grec qui a fondé la géométrie. La méthode qu'il utilise commence par 1 en ajoutant des puissances de 2 à un nombre premier. Un nombre parfait est alors obtenu en multipliant la somme par la dernière puissance de 2.
Notez la relation entre le nombre parfait et les nombres premiers de Mersenne.
par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil
Ensembles numériques - Math - École du Brésil
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm
